จำนวนอตรรกยะในรูปกรณฑ์ — การทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย การบวก

จำนวนอตรรกยะในรูปกรณฑ์คือ นิพจน์ที่มีรากและยังคงเป็นอตรรกยะหลังจากทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายแล้ว ตัวอย่างทั่วไปคือ $\sqrt{2}$ และ $3\sqrt{5}$ เมื่อต้องจัดการกับกรณฑ์ ให้ทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายก่อน รวมได้เฉพาะกรณฑ์ที่เหมือนกัน และทำส่วนให้เป็นจำนวนตรรกยะเมื่อยังมีรากอยู่ในส่วนนั้น

กรณฑ์มีความสำคัญเพราะช่วยคงค่าที่แน่นอนเอาไว้ ตัวอย่างเช่น $\sqrt{2}$ มีความแม่นยำมากกว่าค่าทศนิยมที่ปัดเศษแล้วอย่าง $1.414$

กรณฑ์หมายถึงอะไร

ถ้ารากสามารถทำให้อยู่ในรูปของจำนวนตรรกยะได้ โดยทั่วไปจะไม่ถือว่าเป็นกรณฑ์ ตัวอย่างเช่น

$$\sqrt{9} = 3$$

ดังนั้น $\sqrt{9}$ จึงไม่ใช่กรณฑ์เมื่อทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายแล้ว

แต่

$$\sqrt{2}$$

ไม่สามารถทำให้อยู่ในรูปของจำนวนตรรกยะได้ จึงเป็นกรณฑ์

แนวคิดเดียวกันนี้ใช้กับนิพจน์อย่าง $2\sqrt{3}$, $\sqrt{7}$ หรือ $5\sqrt{11}$ ได้เช่นกัน เพราะเป็นนิพจน์รากที่มีค่าแน่นอนและยังคงเป็นอตรรกยะหลังจากทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

วิธีทำกรณฑ์ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

ในการทำกรณฑ์ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย ให้มองหาตัวประกอบที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ภายในราก

ตัวอย่างเช่น

$$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36}\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$

เป้าหมายคือดึงกำลังสองสมบูรณ์ออกมาจากเครื่องหมายกรณฑ์ และเหลือเฉพาะส่วนที่ไม่เป็นกำลังสองไว้ข้างใน

ถ้าจำนวนใต้รากไม่มีตัวประกอบที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์มากกว่า $1$ กรณฑ์นั้นก็อยู่ในรูปอย่างง่ายแล้ว

วิธีบวกและลบกรณฑ์

คุณจะบวกหรือลบกรณฑ์ได้ก็ต่อเมื่อเป็นกรณฑ์ชนิดเดียวกัน หมายความว่าส่วนกรณฑ์หลังทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายต้องเหมือนกัน

ตัวอย่างเช่น

$$2\sqrt{8} + \sqrt{18}$$

ยังรวมกันไม่ได้ทันที ต้องทำกรณฑ์แต่ละตัวให้อยู่ในรูปอย่างง่ายก่อน:

$$2\sqrt{8} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$

และ

$$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

ตอนนี้ทั้งสองพจน์มีส่วนกรณฑ์เหมือนกัน ดังนั้น

$$4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$$

นี่คือรูปแบบสำคัญ: ทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายก่อน แล้วจึงรวมสัมประสิทธิ์ถ้าส่วนกรณฑ์ตรงกัน

ตัวอย่างทำโจทย์: ทำให้อย่างง่าย บวก แล้วทำส่วนให้เป็นจำนวนตรรกยะ

จงทำให้อย่างง่าย

$$\frac{2\sqrt{8} + \sqrt{18}}{\sqrt{3}}$$

เริ่มจากทำตัวเศษให้อยู่ในรูปอย่างง่าย:

$$2\sqrt{8} = 4\sqrt{2}$$

และ

$$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

ดังนั้นเศษส่วนจะกลายเป็น

$$\frac{4\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

จากนั้นทำส่วนให้เป็นจำนวนตรรกยะโดยคูณทั้งเศษและส่วนด้วย $\sqrt{3}$:

$$\frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{6}}{3}$$

ดังนั้นผลลัพธ์ที่ทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายคือ

$$\frac{7\sqrt{6}}{3}$$

ตัวอย่างนี้แสดงลำดับการทำงานครบทั้งหมด: ทำกรณฑ์แต่ละตัวให้อยู่ในรูปอย่างง่าย รวมกรณฑ์ที่เหมือนกัน แล้วทำส่วนให้เป็นจำนวนตรรกยะ

วิธีทำส่วนให้เป็นจำนวนตรรกยะ

การทำส่วนให้เป็นจำนวนตรรกยะ หมายถึงการเอารากออกจากส่วนของเศษส่วนโดยไม่เปลี่ยนค่าของมัน

ถ้าส่วนเป็นกรณฑ์เพียงพจน์เดียว ให้คูณทั้งเศษและส่วนด้วยกรณฑ์นั้น ตัวอย่างเช่น

$$\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$$

ถ้าส่วนมีสองพจน์ เช่น $a + \sqrt{b}$ ให้ใช้พจน์สังยุค $a - \sqrt{b}$ วิธีนี้ใช้ได้เพราะ

$$(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - b$$

และ $a^2 - b$ ไม่มีพจน์กรณฑ์

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับกรณฑ์

บวกก่อนทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

$\sqrt{8}$ และ $\sqrt{18}$ อาจดูไม่ใช่กรณฑ์ชนิดเดียวกันอย่างชัดเจน แต่หลังจากทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายแล้วจะกลายเป็น $2\sqrt{2}$ และ $3\sqrt{2}$ ถ้าคุณข้ามขั้นตอนนี้ไป ก็มักจะพลาดการรวมที่ทำได้ง่าย

รวมกรณฑ์ที่ไม่เหมือนกัน

โดยทั่วไป

$$\sqrt{2} + \sqrt{3} \ne \sqrt{5}$$

คุณจะรวมสัมประสิทธิ์ได้ก็ต่อเมื่อส่วนกรณฑ์หลังทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายเหมือนกันเท่านั้น

แยกรากออกจากการบวกอย่างไม่ถูกต้อง

โดยทั่วไป

$$\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$$

ตัวอย่างเช่น $\sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$ แต่ $\sqrt{4} + \sqrt{5} = 2 + \sqrt{5}$ ซึ่งไม่เท่ากับ $3$

ตัดกรณฑ์ทิ้งอย่างไม่ถูกต้อง

ใน

$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

คุณไม่สามารถตัดเครื่องหมายรากทิ้งได้ เพราะจำนวนภายในรากต่างกัน คุณต้องทำให้อย่างถูกต้องหรือทำส่วนให้เป็นจำนวนตรรกยะ

กรณฑ์ถูกใช้เมื่อใด

กรณฑ์ปรากฏขึ้นทุกครั้งที่ค่าที่แน่นอนเกี่ยวข้องกับรากของจำนวนที่ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ ตัวอย่างที่พบบ่อยคือเรขาคณิต ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สมการกำลังสอง ตรีโกณมิติ และการทำพีชคณิตให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

กรณฑ์มีประโยชน์เป็นพิเศษเมื่อรูปคำตอบที่แน่นอนสำคัญกว่าค่าประมาณทศนิยม ตัวอย่างเช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว $3$ จะมีเส้นทแยงมุมยาว $3\sqrt{2}$ ไม่ใช่เพียงค่าทศนิยมโดยประมาณ

เช็กลิสต์สั้น ๆ สำหรับโจทย์กรณฑ์

เมื่อคุณทำโจทย์เกี่ยวกับกรณฑ์ ให้ถามตัวเองว่า:

1. ฉันทำกรณฑ์ทุกตัวให้อยู่ในรูปอย่างง่ายก่อนแล้วหรือยัง?
2. กรณฑ์เหล่านี้เป็นพจน์ชนิดเดียวกันจริงหรือไม่ก่อนที่จะบวกหรือลบ?
3. ถ้าเป็นเศษส่วน ส่วนยังมีรากอยู่หรือไม่?
4. ฉันคงคำตอบให้อยู่ในรูปค่าที่แน่นอนไว้หรือยัง เว้นแต่โจทย์จะขอเป็นทศนิยม?

การตรวจสอบทั้งสี่ข้อนี้ช่วยป้องกันข้อผิดพลาดพื้นฐานได้เกือบทั้งหมด

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำให้อย่างง่าย

$$\frac{\sqrt{50} + \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$$

ทำตามลำดับเดิม: ทำกรณฑ์แต่ละตัวให้อยู่ในรูปอย่างง่าย รวมพจน์ที่เหมือนกัน แล้วตรวจดูว่ายังจำเป็นต้องทำส่วนให้เป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่ ถ้าคุณใช้ตัวช่วยแก้โจทย์แบบทีละขั้น ให้เปรียบเทียบแต่ละขั้นของพีชคณิต ไม่ใช่ดูแค่คำตอบสุดท้าย