Logarytmy wyjaśnione

Logarytm mówi, jaki wykładnik zamienia jedną liczbę w drugą. Na przykład, $\log_2(8) = 3$, ponieważ $2^3 = 8$.

Ogólnie, jeśli

$$\log_b(x) = y$$

to

$$b^y = x$$

To cała idea. Logarytm jest działaniem odwrotnym do potęgowania.

Dla logarytmów o wartościach rzeczywistych warunki mają znaczenie: podstawa musi spełniać $b > 0$ oraz $b \ne 1$, a argument musi spełniać $x > 0$.

Co oznacza logarytm

Zapis $\log_b(x)$ czytaj jako „do jakiej potęgi trzeba podnieść $b$, aby otrzymać $x$”. Tę wersję zapisaną prostym językiem często łatwiej zapamiętać niż sam symboliczny zapis.

Na przykład,

$$\log_{10}(100) = 2$$

ponieważ

$$10^2 = 100$$

Schemat jest zawsze taki sam. Jeśli zapis wydaje się abstrakcyjny, najpierw przepisz go jako równanie wykładnicze.

Dlaczego logarytmy są przydatne

Wykładniki opisują wielokrotne mnożenie i szybki wzrost. Logarytmy odwracają ten pomysł.

Dzięki temu są przydatne wtedy, gdy wynik jest znany, ale wykładnik nie. Zamieniają też zmiany multiplikatywne na addytywne, dlatego pojawiają się w modelach wzrostu, poziomie dźwięku, skali kwasowości i algorytmach.

Przykład: dlaczego logarytm może być ujemny

Oblicz

$$\log_2\left(\frac{1}{8}\right)$$

Przepisz to do postaci wykładniczej:

$$2^y = \frac{1}{8}$$

Teraz zapytaj, jaka potęga liczby $2$ daje $\frac{1}{8}$. Ponieważ

$$2^{-3} = \frac{1}{8}$$

odpowiedź brzmi

$$\log_2\left(\frac{1}{8}\right) = -3$$

To wyjaśnia częste nieporozumienie. Logarytm może mieć ujemny wynik, mimo że jego argument musi pozostać dodatni.

Typowe błędy przy logarytmach

1. Mylenie argumentu z wynikiem. W $\log_b(x) = y$ argumentem jest $x$, a wynikiem jest wykładnik $y$.
2. Zapominanie o dziedzinie. Dla logarytmów rzeczywistych $\log_b(x)$ jest określony tylko wtedy, gdy $x > 0$.
3. Myślenie, że ujemny logarytm oznacza ujemny argument. Tak nie jest. Oznacza to, że potrzebny wykładnik jest ujemny.
4. Ignorowanie podstawy. $\log_2(8) = 3$, ale $\log_{10}(8)$ nie jest równe $3$.
5. Odczytywanie zapisu jak zwykłego dzielenia. $\log_b(x)$ jest zdefiniowany przez zależność wykładniczą $b^y = x$. Tożsamość $\log_b(x) = \frac{\log(x)}{\log(b)}$ to osobna reguła zmiany podstawy.

Kiedy używa się logarytmów

Z logarytmami spotkasz się, gdy:

1. Rozwiązujesz równania wykładnicze
2. Mierzysz wielkości obejmujące wiele skal, takie jak decybele lub pH
3. Analizujesz wzrost, zanik lub czas podwojenia
4. Upraszczasz wzory w algebrze, analizie matematycznej, statystyce i informatyce

Zamień każdy logarytm na wykładnik

Jeśli zapis wydaje się abstrakcyjny, od razu go przetłumacz:

$$\log_b(x) = y \iff b^y = x$$

To jedno przepisanie usuwa większość początkowych trudności.

Spróbuj samodzielnie

Weź jedno równanie wykładnicze, na przykład $3^4 = 81$, i zapisz je w postaci logarytmu. Potem odwróć ten proces dla czegoś takiego jak $\log_{10}(0.01)$ i sprawdź, który wykładnik sprawia, że zdanie jest prawdziwe.