탄성 — 응력, 변형률, 영률과 후크의 법칙

탄성은 재료가 하중을 받을 때 어떻게 변형되고, 하중이 제거되면 어떻게 원래 모양으로 돌아오는지를 설명합니다. 이런 현상은 재료가 탄성 범위 안에 있을 때만 일어납니다. 하중이 너무 크면 재료가 영구적으로 변형될 수 있으므로, 단순한 탄성 공식은 더 이상 적용되지 않습니다.

단순한 인장이나 압축 문제에서는 다음 네 가지 개념이 핵심 역할을 합니다:

• 응력
• 변형률
• 영률
• 후크의 법칙

이 네 가지가 어떻게 연결되는지 이해하면, 기초적인 탄성 문제는 훨씬 쉽게 풀 수 있습니다.

탄성이란 무엇인가

막대, 철사, 또는 봉을 잡아당기면 보통 길이가 조금 늘어납니다. 더 세게 당길수록 더 많이 늘어납니다. 탄성은 여기서 두 가지 실용적인 질문을 던집니다:

1. 재료 내부에는 얼마나 큰 하중이 걸려 있는가?
2. 재료는 실제로 얼마나 변형되는가?

첫 번째 질문에는 응력이 답합니다. 두 번째 질문에는 변형률이 답합니다. 재료가 선형적으로 거동할 때는 영률이 이 둘을 연결해 줍니다.

응력과 변형률

균일한 인장 또는 압축을 받는 단순한 막대에서 응력은 단면적당 힘입니다:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

여기서 $F$ 는 가해진 힘이고, $A$ 는 단면적입니다. 응력의 SI 단위는 파스칼이며, $1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$ 입니다.

변형률은 길이의 상대적 변화량을 나타냅니다:

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$

여기서 $L_0$ 는 원래 길이이고, $\Delta L$ 는 길이 변화량입니다. 변형률은 비율이므로 단위가 없습니다.

이 차이는 중요합니다. 응력은 단위 면적당 내부 하중을 나타냅니다. 변형률은 그 하중 때문에 생기는 상대적인 변형을 나타냅니다.

영률은 강성을 나타낸다

선형 탄성 범위에서는 응력과 변형률이 비례합니다:

$$\sigma = E\epsilon$$

상수 $E$ 는 영률입니다. 이것은 단순한 인장이나 압축에서, 일정한 변형률을 만들기 위해 얼마나 큰 응력이 필요한지를 나타냅니다.

$E$ 가 클수록 그 하중 조건에서 재료는 더 강성이 큽니다. 같은 응력에서 변형률은 더 작아집니다. 그렇다고 해서 자동으로 더 잘 안 부서진다는 뜻은 아닙니다. 강성과 강도는 서로 다른 재료 특성입니다.

후크의 법칙은 언제 성립하는가

후크의 법칙은 선형 탄성 범위 안에서 변형이 하중에 비례한다는 개념입니다.

스프링의 경우, 복원력 형태는 보통 다음과 같이 씁니다:

$$F = -kx$$

선형 탄성 영역에서 늘어난 막대나 철사에 대해서는, 이에 대응하는 재료식이 다음과 같습니다:

$$\sigma = E\epsilon$$

이 둘은 밀접하게 관련된 개념이지만, 기호 하나하나가 완전히 같은 공식은 아닙니다. 두 경우 모두 같은 조건에 의존합니다. 즉, 비례 관계가 여전히 좋은 모델이어야 합니다.

예제: 응력, 변형률, 늘어난 길이 구하기

어떤 금속 막대가 다음과 같다고 합시다:

• 원래 길이 $L_0 = 2.0\ \mathrm{m}$
• 단면적 $A = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$
• 영률 $E = 2.0 \times 10^{11}\ \mathrm{Pa}$
• 가해진 인장력 $F = 1.0 \times 10^4\ \mathrm{N}$

막대가 선형 탄성 범위 안에 있다고 가정하고, 응력, 변형률, 그리고 늘어난 길이를 구해 봅시다.

먼저 응력부터 구합니다:

$$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{1.0 \times 10^4}{1.0 \times 10^{-4}} = 1.0 \times 10^8\ \mathrm{Pa}$$

이제 영률을 이용해 변형률을 구합니다:

$$\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{1.0 \times 10^8}{2.0 \times 10^{11}} = 5.0 \times 10^{-4}$$

그다음 길이 변화량을 구합니다:

$$\Delta L = \epsilon L_0 = (5.0 \times 10^{-4})(2.0) = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$$

따라서 막대는 다음만큼 늘어납니다:

$$\Delta L = 1.0\ \mathrm{mm}$$

이 예제는 올바른 풀이 순서를 보여 줍니다:

• 힘과 면적으로 응력을 구한다
• 응력과 영률로 변형률을 구한다
• 변형률과 원래 길이로 늘어난 길이를 구한다

탄성 문제에서 자주 하는 실수

응력을 단순히 힘으로만 생각하기

힘이 더 크다고 해서 응력이 자동으로 더 커지는 것은 아닙니다. 면적도 함께 달라지면 결과가 달라집니다. 응력은 힘과 면적 둘 다에 의존합니다.

변형률에 단위가 없다는 점을 잊기

변형률은 $0.001$ 또는 $0.1\%$ 같은 비율입니다. 뉴턴이나 파스칼로 측정하는 값이 아닙니다.

유효 범위를 벗어나 후크의 법칙을 사용하기

재료가 선형 탄성 거동을 넘어섰다면, $\sigma = E\epsilon$ 는 더 이상 잘 맞지 않을 수 있습니다. 영구 변형이 나타난다면 단순 모델이 더 이상 성립하지 않는다는 신호입니다.

영률이 크면 “더 강하다”고 가정하기

$E$ 가 큰 재료는 더 강성이 커서, 같은 응력에서 덜 변형됩니다. 하지만 강도는 항복하거나 파괴되기 전까지 얼마나 큰 응력을 견딜 수 있는가에 관한 것으로, 이것은 다른 문제입니다.

탄성은 어디에 쓰이는가

탄성은 구조 설계, 스프링, 기계 부품, 진동 제어, 재료 시험, 그리고 작은 변형이 성능에 영향을 주는 모든 상황에서 중요합니다. 예를 들어 같은 하중이 가해졌을 때 강철 자는 조금만 휘어지고, 고무 띠는 훨씬 많이 늘어나는 이유를 설명해 줍니다.

실용적인 가치는 단순합니다. 탄성 개념을 이용하면 재료가 조금 변형될지, 많이 변형될지, 아니면 안전한 선형 범위를 완전히 벗어날지를 예측할 수 있습니다.

비슷한 탄성 문제를 풀어 보세요

같은 막대를 유지한 채 힘만 두 배로 늘려 보세요. 재료가 여전히 선형 탄성 범위 안에 있다면, 응력, 변형률, 늘어난 길이도 모두 두 배가 됩니다.

자신의 수치로 단계별 피드백을 받고 싶다면, GPAI Solver에서 비슷한 탄성 문제를 풀어 보세요.