Sprężystość — naprężenie, odkształcenie, moduł Younga i prawo Hooke’a

Sprężystość wyjaśnia, jak materiał odkształca się pod wpływem obciążenia, a następnie wraca do pierwotnego kształtu po usunięciu tego obciążenia. Dzieje się tak tylko wtedy, gdy materiał pozostaje w swoim zakresie sprężystym. Jeśli obciążenie jest zbyt duże, materiał może odkształcić się trwale, więc proste wzory sprężystości przestają mieć zastosowanie.

W prostych zadaniach dotyczących rozciągania lub ściskania najważniejsze są cztery pojęcia:

• naprężenie
• odkształcenie
• moduł Younga
• prawo Hooke’a

Gdy zrozumiesz zależności między tymi czterema pojęciami, większość podstawowych zadań ze sprężystości staje się znacznie łatwiejsza.

Co oznacza sprężystość

Jeśli pociągniesz za pręt, drut lub wałek, zwykle stanie się on trochę dłuższy. Im mocniej ciągniesz, tym bardziej się wydłuża. Sprężystość odpowiada na dwa praktyczne pytania:

1. Jak duże obciążenie wewnętrzne występuje w materiale?
2. Jak bardzo materiał rzeczywiście się odkształca?

Na pierwsze pytanie odpowiada naprężenie. Na drugie odpowiada odkształcenie. Moduł Younga łączy te wielkości, gdy materiał zachowuje się liniowo.

Naprężenie a odkształcenie

Dla prostego pręta poddanego jednorodnemu rozciąganiu lub ściskaniu naprężenie to siła przypadająca na pole przekroju poprzecznego:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

Tutaj $F$ to przyłożona siła, a $A$ to pole przekroju poprzecznego. Jednostką SI naprężenia jest paskal, gdzie $1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$.

Odkształcenie określa względną zmianę długości:

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$

Tutaj $L_0$ to długość początkowa, a $\Delta L$ to zmiana długości. Odkształcenie nie ma jednostki, ponieważ jest ilorazem.

To rozróżnienie jest ważne. Naprężenie opisuje wewnętrzne obciążenie przypadające na jednostkę powierzchni. Odkształcenie opisuje względną deformację wywołaną przez to obciążenie.

Moduł Younga mierzy sztywność

W liniowym zakresie sprężystym naprężenie i odkształcenie są proporcjonalne:

$$\sigma = E\epsilon$$

Stała $E$ to moduł Younga. Określa, jakie naprężenie jest potrzebne, aby wywołać dane odkształcenie przy prostym rozciąganiu lub ściskaniu.

Jeśli $E$ jest większe, materiał jest sztywniejszy w danej sytuacji obciążenia. Przy tym samym naprężeniu odkształci się mniej. Nie oznacza to automatycznie, że trudniej go zniszczyć. Sztywność i wytrzymałość to różne właściwości materiału.

Kiedy stosuje się prawo Hooke’a

Prawo Hooke’a mówi, że w liniowym zakresie sprężystym odkształcenie jest proporcjonalne do obciążenia.

Dla sprężyny zapis siły sprężystości często ma postać

$$F = -kx$$

Dla rozciąganego pręta lub drutu w liniowym zakresie sprężystym odpowiadający temu zapis materiałowy ma postać

$$\sigma = E\epsilon$$

Są to idee ściśle ze sobą powiązane, ale nie jest to dokładnie ten sam wzór zapisany innymi symbolami. Oba opierają się na tym samym warunku: zachowanie proporcjonalne musi nadal być dobrym modelem.

Przykład obliczeniowy: wyznacz naprężenie, odkształcenie i wydłużenie

Załóżmy, że metalowy pręt ma:

• długość początkową $L_0 = 2.0\ \mathrm{m}$
• pole przekroju poprzecznego $A = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$
• moduł Younga $E = 2.0 \times 10^{11}\ \mathrm{Pa}$
• przyłożoną siłę rozciągającą $F = 1.0 \times 10^4\ \mathrm{N}$

Wyznacz naprężenie, odkształcenie i wydłużenie, zakładając, że pręt pozostaje w liniowym zakresie sprężystym.

Zacznij od naprężenia:

$$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{1.0 \times 10^4}{1.0 \times 10^{-4}} = 1.0 \times 10^8\ \mathrm{Pa}$$

Teraz użyj modułu Younga, aby obliczyć odkształcenie:

$$\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{1.0 \times 10^8}{2.0 \times 10^{11}} = 5.0 \times 10^{-4}$$

Następnie wyznacz zmianę długości:

$$\Delta L = \epsilon L_0 = (5.0 \times 10^{-4})(2.0) = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$$

Zatem pręt wydłuża się o

$$\Delta L = 1.0\ \mathrm{mm}$$

Ten przykład pokazuje właściwą kolejność rozumowania:

• siła i pole przekroju dają naprężenie
• naprężenie i moduł Younga dają odkształcenie
• odkształcenie i długość początkowa dają wydłużenie

Typowe błędy w zadaniach ze sprężystości

Traktowanie naprężenia jako samej siły

Większa siła nie oznacza automatycznie większego naprężenia, jeśli zmienia się także pole powierzchni. Naprężenie zależy od obu tych wielkości.

Zapominanie, że odkształcenie nie ma jednostki

Odkształcenie to iloraz, na przykład $0.001$ lub $0.1\%$. Nie mierzy się go w niutonach ani paskalach.

Stosowanie prawa Hooke’a poza zakresem jego ważności

Jeśli materiał wyszedł poza liniowy zakres sprężysty, $\sigma = E\epsilon$ może już go dobrze nie opisywać. Trwałe odkształcenie jest sygnałem ostrzegawczym, że prosty model przestał działać.

Zakładanie, że większy moduł Younga oznacza „większą wytrzymałość”

Materiał o większym $E$ jest sztywniejszy, czyli mniej się odkształca przy tym samym naprężeniu. Wytrzymałość dotyczy tego, jak duże naprężenie materiał może wytrzymać przed uplastycznieniem lub zniszczeniem, a to jest inne zagadnienie.

Gdzie wykorzystuje się sprężystość

Sprężystość ma znaczenie w projektowaniu konstrukcji, sprężyn, części maszyn, tłumieniu drgań, badaniach materiałowych i wszędzie tam, gdzie małe odkształcenia wpływają na działanie układu. Pomaga wyjaśnić, dlaczego stalowa linijka ugina się tylko nieznacznie pod danym obciążeniem, podczas gdy pasek gumy rozciąga się znacznie bardziej przy podobnym sposobie obciążenia.

Praktyczna wartość jest prosta: sprężystość pozwala przewidzieć, czy materiał odkształci się nieznacznie, mocno, czy całkowicie opuści bezpieczny liniowy zakres pracy.

Spróbuj podobnego zadania ze sprężystości

Zachowaj ten sam pręt, ale podwój siłę. Jeśli materiał nadal pozostaje w liniowym zakresie sprężystym, naprężenie, odkształcenie i wydłużenie również się podwoją.

Jeśli chcesz otrzymać informację zwrotną krok po kroku dla własnych danych, spróbuj podobnego zadania ze sprężystości w GPAI Solver.