ความยืดหยุ่น — ความเค้น ความเครียด มอดูลัสของยัง และกฎของฮุก

ความยืดหยุ่นอธิบายว่าวัสดุเปลี่ยนรูปอย่างไรเมื่อมีแรงมากระทำ และกลับคืนสู่รูปร่างเดิมเมื่อเอาแรงนั้นออก สิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อวัสดุยังอยู่ในช่วงยืดหยุ่นเท่านั้น ถ้าแรงมากเกินไป วัสดุอาจเปลี่ยนรูปถาวร ทำให้สมการยืดหยุ่นอย่างง่ายใช้ไม่ได้อีก

สำหรับโจทย์การยืดหรือการอัดแบบง่าย แนวคิดหลักที่ใช้บ่อยมี 4 อย่างคือ

• ความเค้น
• ความเครียด
• มอดูลัสของยัง
• กฎของฮุก

เมื่อเข้าใจความเชื่อมโยงของทั้งสี่อย่างนี้แล้ว โจทย์ความยืดหยุ่นระดับพื้นฐานส่วนใหญ่จะทำได้ง่ายขึ้นมาก

ความยืดหยุ่นหมายถึงอะไร

ถ้าคุณดึงแท่ง ลวด หรือก้าน วัตถุนั้นมักจะยาวขึ้นเล็กน้อย ยิ่งดึงแรงมาก ก็ยิ่งยืดมากขึ้น ความยืดหยุ่นตั้งคำถามเชิงปฏิบัติอยู่ 2 ข้อคือ

1. วัสดุกำลังรับแรงภายในมากแค่ไหน?
2. วัสดุเปลี่ยนรูปไปจริง ๆ มากแค่ไหน?

ความเค้นตอบคำถามข้อแรก ความเครียดตอบคำถามข้อที่สอง และมอดูลัสของยังเชื่อมทั้งสองเข้าด้วยกันเมื่อวัสดุมีพฤติกรรมเชิงเส้น

ความเค้นกับความเครียด

สำหรับแท่งอย่างง่ายที่รับแรงดึงหรือแรงอัดสม่ำเสมอ ความเค้น คือแรงต่อพื้นที่หน้าตัด:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

โดยที่ $F$ คือแรงที่กระทำ และ $A$ คือพื้นที่หน้าตัด หน่วย SI ของความเค้นคือปาสกาล โดยที่ $1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$

ความเครียด บอกการเปลี่ยนแปลงของความยาวในรูปอัตราส่วน:

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$

โดยที่ $L_0$ คือความยาวเริ่มต้น และ $\Delta L$ คือการเปลี่ยนแปลงของความยาว ความเครียดไม่มีหน่วยเพราะเป็นอัตราส่วน

ความแตกต่างนี้สำคัญมาก ความเค้นอธิบายแรงภายในต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ ส่วนความเครียดอธิบายการเปลี่ยนรูปสัมพัทธ์ที่เกิดจากแรงนั้น

มอดูลัสของยังใช้วัดความแข็งเกร็ง

ในช่วงยืดหยุ่นเชิงเส้น ความเค้นและความเครียดแปรผันตรงกัน:

$$\sigma = E\epsilon$$

ค่าคงที่ $E$ คือ มอดูลัสของยัง มันบอกว่าต้องใช้ความเค้นมากแค่ไหนเพื่อให้เกิดความเครียดตามที่กำหนดในการดึงหรืออัดแบบง่าย

ถ้า $E$ มีค่ามากกว่า วัสดุจะมีความแข็งเกร็งมากกว่าในสภาวะการรับแรงนั้น สำหรับความเค้นเท่ากัน มันจะเกิดความเครียดน้อยกว่า แต่ไม่ได้หมายความว่ามันแตกหักได้ยากกว่าโดยอัตโนมัติ ความแข็งเกร็งและความแข็งแรงเป็นสมบัติของวัสดุคนละอย่างกัน

กฎของฮุกใช้เมื่อใด

กฎของฮุกคือแนวคิดที่ว่า ภายในช่วงยืดหยุ่นเชิงเส้น การเปลี่ยนรูปจะแปรผันตรงกับแรงที่กระทำ

สำหรับสปริง มักเขียนในรูปแรงคืนตัวเป็น

$$F = -kx$$

สำหรับแท่งหรือลวดที่ถูกยืดในช่วงยืดหยุ่นเชิงเส้น สมการของวัสดุที่สอดคล้องกันคือ

$$\sigma = E\epsilon$$

ทั้งสองแนวคิดนี้เกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด แต่ไม่ใช่สมการเดียวกันแบบแทนสัญลักษณ์ตรง ๆ ทั้งคู่ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเดียวกัน คือพฤติกรรมแบบแปรผันตรงยังต้องเป็นแบบจำลองที่ใช้ได้ดีอยู่

ตัวอย่างทำโจทย์: หาความเค้น ความเครียด และการยืดตัว

สมมติว่าแท่งโลหะมี

• ความยาวเริ่มต้น $L_0 = 2.0\ \mathrm{m}$
• พื้นที่หน้าตัด $A = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$
• มอดูลัสของยัง $E = 2.0 \times 10^{11}\ \mathrm{Pa}$
• แรงดึงที่กระทำ $F = 1.0 \times 10^4\ \mathrm{N}$

จงหาความเค้น ความเครียด และการยืดตัว โดยสมมติว่าแท่งยังคงอยู่ในช่วงยืดหยุ่นเชิงเส้น

เริ่มจากความเค้น:

$$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{1.0 \times 10^4}{1.0 \times 10^{-4}} = 1.0 \times 10^8\ \mathrm{Pa}$$

จากนั้นใช้มอดูลัสของยังเพื่อหาความเครียด:

$$\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{1.0 \times 10^8}{2.0 \times 10^{11}} = 5.0 \times 10^{-4}$$

แล้วหาการเปลี่ยนแปลงของความยาว:

$$\Delta L = \epsilon L_0 = (5.0 \times 10^{-4})(2.0) = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$$

ดังนั้นแท่งจึงยืดออกไป

$$\Delta L = 1.0\ \mathrm{mm}$$

ตัวอย่างนี้แสดงลำดับเหตุผลที่ถูกต้องดังนี้

• แรงและพื้นที่ให้ค่าความเค้น
• ความเค้นและมอดูลัสของยังให้ค่าความเครียด
• ความเครียดและความยาวเริ่มต้นให้ค่าการยืดตัว

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในโจทย์ความยืดหยุ่น

คิดว่าความเค้นคือแรงอย่างเดียว

แรงที่มากขึ้นไม่ได้แปลว่าความเค้นมากขึ้นเสมอไป ถ้าพื้นที่เปลี่ยนไปด้วย ความเค้นขึ้นอยู่กับทั้งสองอย่าง

ลืมว่าความเครียดไม่มีหน่วย

ความเครียดเป็นอัตราส่วน เช่น $0.001$ หรือ $0.1\%$ ไม่ได้วัดเป็นนิวตันหรือปาสกาล

ใช้กฎของฮุกนอกช่วงที่ใช้ได้

ถ้าวัสดุเลยช่วงพฤติกรรมยืดหยุ่นเชิงเส้นไปแล้ว $\sigma = E\epsilon$ อาจอธิบายได้ไม่ดีอีกต่อไป การเปลี่ยนรูปถาวรเป็นสัญญาณเตือนว่าแบบจำลองอย่างง่ายนี้ใช้ไม่ได้แล้ว

คิดว่ามอดูลัสของยังที่มากกว่าหมายถึง “แข็งแรงกว่า”

วัสดุที่มี $E$ มากกว่าจะแข็งเกร็งกว่า หมายถึงเปลี่ยนรูปน้อยกว่าภายใต้ความเค้นเท่ากัน ส่วนความแข็งแรงเกี่ยวกับการทนความเค้นได้มากแค่ไหนก่อนจะครากหรือแตกหัก ซึ่งเป็นอีกประเด็นหนึ่ง

ความยืดหยุ่นถูกใช้ที่ไหน

ความยืดหยุ่นมีความสำคัญในงานออกแบบโครงสร้าง สปริง ชิ้นส่วนเครื่องจักร การควบคุมการสั่นสะเทือน การทดสอบวัสดุ และทุกสถานการณ์ที่การเปลี่ยนรูปเล็กน้อยส่งผลต่อประสิทธิภาพ มันช่วยอธิบายว่าทำไมไม้บรรทัดเหล็กจึงโก่งเพียงเล็กน้อยภายใต้แรงที่กำหนด ขณะที่แถบยางยืดออกมากกว่ามากภายใต้รูปแบบการรับแรงที่คล้ายกัน

ประโยชน์เชิงปฏิบัตินั้นตรงไปตรงมา: ความยืดหยุ่นช่วยให้คุณคาดการณ์ได้ว่าวัสดุจะเปลี่ยนรูปเพียงเล็กน้อย เปลี่ยนรูปมาก หรือออกนอกช่วงเชิงเส้นที่ปลอดภัยไปเลย

ลองทำโจทย์ความยืดหยุ่นที่คล้ายกัน

ใช้แท่งเดิม แต่เพิ่มแรงเป็นสองเท่า ถ้าวัสดุยังคงอยู่ในช่วงยืดหยุ่นเชิงเส้น ความเค้น ความเครียด และการยืดตัวก็จะเพิ่มเป็นสองเท่าทั้งหมดเช่นกัน

ถ้าคุณต้องการคำอธิบายทีละขั้นกับค่าที่คุณคำนวณเอง ลองทำโจทย์ความยืดหยุ่นที่คล้ายกันใน GPAI Solver