Elasticità — Sforzo, Deformazione, Modulo di Young e legge di Hooke

L'elasticità spiega come un materiale si deforma sotto un carico e poi torna alla sua forma originale quando il carico viene rimosso. Questo accade solo se il materiale resta entro il suo campo elastico. Se il carico è troppo grande, il materiale può deformarsi in modo permanente, quindi le semplici formule elastiche non si applicano più.

Per i semplici problemi di allungamento o compressione, quattro idee fanno quasi tutto il lavoro:

• sforzo
• deformazione
• modulo di Young
• legge di Hooke

Quando questi quattro concetti sono collegati tra loro, la maggior parte delle domande introduttive sull'elasticità diventa molto più facile da risolvere.

Che cosa significa elasticità

Se tiri una barra, un filo o un'asta, di solito si allunga un po'. Più forte tiri, più si allunga. L'elasticità pone due domande pratiche:

1. Quanto carico interno sta subendo il materiale?
2. Quanto si deforma davvero?

Lo sforzo risponde alla prima domanda. La deformazione risponde alla seconda. Il modulo di Young li collega quando il materiale si comporta in modo lineare.

Sforzo vs. deformazione

Per una barra semplice soggetta a trazione o compressione uniforme, lo sforzo è la forza per unità di area della sezione trasversale:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

Qui $F$ è la forza applicata e $A$ è l'area della sezione trasversale. L'unità SI dello sforzo è il pascal, dove $1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$.

La deformazione indica la variazione relativa di lunghezza:

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$

Qui $L_0$ è la lunghezza iniziale e $\Delta L$ è la variazione di lunghezza. La deformazione non ha unità perché è un rapporto.

Questa distinzione è importante. Lo sforzo descrive il carico interno per unità di area. La deformazione descrive la deformazione relativa prodotta da quel carico.

Il modulo di Young misura la rigidezza

Nel campo elastico lineare, sforzo e deformazione sono proporzionali:

$$\sigma = E\epsilon$$

La costante $E$ è il modulo di Young. Indica quanto sforzo è necessario per produrre una certa deformazione in semplice trazione o compressione.

Se $E$ è maggiore, il materiale è più rigido in quella situazione di carico. A parità di sforzo, si deformerà meno. Questo non significa automaticamente che sia più difficile da rompere. Rigidezza e resistenza sono proprietà diverse del materiale.

Quando si applica la legge di Hooke

La legge di Hooke esprime l'idea che, entro un campo elastico lineare, la deformazione sia proporzionale al carico.

Per una molla, la forma della forza di richiamo si scrive spesso come

$$F = -kx$$

Per una barra o un filo allungato in un regime elastico lineare, la forma corrispondente del materiale è

$$\sigma = E\epsilon$$

Sono idee strettamente collegate, ma non sono la stessa formula simbolo per simbolo. Entrambe dipendono dalla stessa condizione: il comportamento proporzionale deve essere ancora un buon modello.

Esempio svolto: trovare sforzo, deformazione e allungamento

Supponiamo che una barra metallica abbia:

• lunghezza iniziale $L_0 = 2.0\ \mathrm{m}$
• area della sezione trasversale $A = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$
• modulo di Young $E = 2.0 \times 10^{11}\ \mathrm{Pa}$
• forza di trazione applicata $F = 1.0 \times 10^4\ \mathrm{N}$

Trova lo sforzo, la deformazione e l'allungamento, assumendo che la barra resti nel campo elastico lineare.

Inizia dallo sforzo:

$$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{1.0 \times 10^4}{1.0 \times 10^{-4}} = 1.0 \times 10^8\ \mathrm{Pa}$$

Ora usa il modulo di Young per ottenere la deformazione:

$$\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{1.0 \times 10^8}{2.0 \times 10^{11}} = 5.0 \times 10^{-4}$$

Poi trova la variazione di lunghezza:

$$\Delta L = \epsilon L_0 = (5.0 \times 10^{-4})(2.0) = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$$

Quindi la barra si allunga di

$$\Delta L = 1.0\ \mathrm{mm}$$

Questo esempio mostra la logica nell'ordine corretto:

• forza e area danno lo sforzo
• sforzo e modulo di Young danno la deformazione
• deformazione e lunghezza iniziale danno l'allungamento

Errori comuni nei problemi di elasticità

Trattare lo sforzo come semplice forza

Una forza maggiore non significa automaticamente uno sforzo maggiore se cambia anche l'area. Lo sforzo dipende da entrambi.

Dimenticare che la deformazione non ha unità

La deformazione è un rapporto come $0.001$ o $0.1\%$. Non si misura in newton o pascal.

Usare la legge di Hooke fuori dal suo campo di validità

Se il materiale è andato oltre il comportamento elastico lineare, $\sigma = E\epsilon$ potrebbe non descriverlo più bene. La deformazione permanente è il segnale che il modello semplice non è più valido.

Supporre che un modulo di Young maggiore significhi "più resistente"

Un materiale con $E$ maggiore è più rigido, cioè si deforma meno sotto lo stesso sforzo. La resistenza riguarda quanto sforzo può sopportare prima di snervarsi o rompersi, che è una questione diversa.

Dove si usa l'elasticità

L'elasticità è importante nella progettazione strutturale, nelle molle, nei componenti meccanici, nel controllo delle vibrazioni, nelle prove sui materiali e in ogni situazione in cui piccole deformazioni influenzano le prestazioni. Aiuta a spiegare perché un righello d'acciaio si piega solo un poco sotto un certo carico, mentre una striscia di gomma si allunga molto di più con un carico simile.

Il valore pratico è semplice: l'elasticità ti permette di prevedere se un materiale si deformerà poco, molto oppure uscirà completamente dal campo lineare sicuro.

Prova un problema simile di elasticità

Mantieni la stessa barra, ma raddoppia la forza. Se il materiale resta ancora nel campo elastico lineare, anche sforzo, deformazione e allungamento raddoppiano.

Se vuoi un riscontro passo dopo passo sui tuoi numeri, prova un problema simile di elasticità in GPAI Solver.