Tính đàn hồi — Ứng suất, Biến dạng, Môđun Young & Định luật Hooke

Tính đàn hồi giải thích cách một vật liệu biến dạng dưới tác dụng của tải rồi trở lại hình dạng ban đầu khi bỏ tải. Điều đó chỉ xảy ra nếu vật liệu vẫn nằm trong miền đàn hồi. Nếu tải quá lớn, vật liệu có thể bị biến dạng vĩnh viễn, khi đó các công thức đàn hồi đơn giản không còn áp dụng được nữa.

Với các bài toán kéo hoặc nén đơn giản, bốn khái niệm sau là quan trọng nhất:

• ứng suất
• biến dạng
• môđun Young
• định luật Hooke

Khi hiểu được mối liên hệ giữa bốn khái niệm này, hầu hết các câu hỏi nhập môn về tính đàn hồi sẽ trở nên dễ giải hơn nhiều.

Tính Đàn Hồi Có Nghĩa Là Gì

Nếu bạn kéo một thanh, dây hoặc que, nó thường sẽ dài ra một chút. Bạn kéo càng mạnh thì nó càng giãn nhiều. Tính đàn hồi đặt ra hai câu hỏi thực tế:

1. Vật liệu đang chịu mức tải bên trong lớn đến đâu?
2. Nó thực sự biến dạng bao nhiêu?

Ứng suất trả lời câu hỏi thứ nhất. Biến dạng trả lời câu hỏi thứ hai. Môđun Young liên hệ hai đại lượng này khi vật liệu ứng xử tuyến tính.

Ứng Suất Và Biến Dạng

Với một thanh đơn giản chịu kéo hoặc nén đều, ứng suất là lực trên một đơn vị diện tích tiết diện:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

Ở đây $F$ là lực tác dụng và $A$ là diện tích tiết diện ngang. Đơn vị SI của ứng suất là pascal, trong đó $1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$.

Biến dạng cho biết độ thay đổi tương đối của chiều dài:

$$\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$$

Ở đây $L_0$ là chiều dài ban đầu và $\Delta L$ là độ thay đổi chiều dài. Biến dạng không có đơn vị vì nó là một tỉ số.

Sự khác biệt này rất quan trọng. Ứng suất mô tả mức tải bên trong trên một đơn vị diện tích. Biến dạng mô tả độ biến dạng tương đối do tải đó gây ra.

Môđun Young Đo Độ Cứng

Trong miền đàn hồi tuyến tính, ứng suất và biến dạng tỉ lệ thuận với nhau:

$$\sigma = E\epsilon$$

Hằng số $E$ là môđun Young. Nó cho biết cần bao nhiêu ứng suất để tạo ra một biến dạng nhất định trong bài toán kéo hoặc nén đơn giản.

Nếu $E$ lớn hơn, vật liệu sẽ cứng hơn trong tình huống chịu tải đó. Với cùng một ứng suất, nó sẽ biến dạng ít hơn. Điều đó không tự động có nghĩa là nó khó bị phá hủy hơn. Độ cứng và độ bền là hai tính chất vật liệu khác nhau.

Khi Nào Định Luật Hooke Áp Dụng

Định luật Hooke nói rằng, trong miền đàn hồi tuyến tính, độ biến dạng tỉ lệ với tải.

Với lò xo, dạng lực phục hồi thường được viết là

$$F = -kx$$

Với một thanh hoặc dây bị kéo trong miền đàn hồi tuyến tính, dạng công thức vật liệu tương ứng là

$$\sigma = E\epsilon$$

Đây là hai ý tưởng có liên hệ chặt chẽ, nhưng không phải là cùng một công thức theo từng ký hiệu. Cả hai đều phụ thuộc vào cùng một điều kiện: ứng xử tỉ lệ vẫn phải là một mô hình phù hợp.

Ví Dụ Có Lời Giải: Tính Ứng Suất, Biến Dạng Và Độ Dãn Dài

Giả sử một thanh kim loại có:

• chiều dài ban đầu $L_0 = 2.0\ \mathrm{m}$
• diện tích tiết diện $A = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$
• môđun Young $E = 2.0 \times 10^{11}\ \mathrm{Pa}$
• lực kéo tác dụng $F = 1.0 \times 10^4\ \mathrm{N}$

Hãy tìm ứng suất, biến dạng và độ dãn dài, giả sử thanh vẫn nằm trong miền đàn hồi tuyến tính.

Bắt đầu với ứng suất:

$$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{1.0 \times 10^4}{1.0 \times 10^{-4}} = 1.0 \times 10^8\ \mathrm{Pa}$$

Bây giờ dùng môđun Young để tính biến dạng:

$$\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{1.0 \times 10^8}{2.0 \times 10^{11}} = 5.0 \times 10^{-4}$$

Sau đó tính độ thay đổi chiều dài:

$$\Delta L = \epsilon L_0 = (5.0 \times 10^{-4})(2.0) = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$$

Vậy thanh dãn ra một đoạn

$$\Delta L = 1.0\ \mathrm{mm}$$

Ví dụ này cho thấy trình tự lập luận đúng:

• lực và diện tích cho ứng suất
• ứng suất và môđun Young cho biến dạng
• biến dạng và chiều dài ban đầu cho độ dãn dài

Những Lỗi Thường Gặp Trong Bài Toán Tính Đàn Hồi

Xem ứng suất chỉ là lực

Lực lớn hơn không tự động có nghĩa là ứng suất lớn hơn nếu diện tích cũng thay đổi. Ứng suất phụ thuộc vào cả hai đại lượng.

Quên rằng biến dạng không có đơn vị

Biến dạng là một tỉ số như $0.001$ hoặc $0.1\%$. Nó không được đo bằng newton hay pascal.

Dùng định luật Hooke ngoài miền có hiệu lực

Nếu vật liệu đã vượt ra ngoài ứng xử đàn hồi tuyến tính, $\sigma = E\epsilon$ có thể không còn mô tả tốt nữa. Biến dạng vĩnh viễn là dấu hiệu cảnh báo rằng mô hình đơn giản đã không còn đúng.

Cho rằng môđun Young lớn hơn nghĩa là “bền hơn”

Vật liệu có $E$ lớn hơn thì cứng hơn, nghĩa là biến dạng ít hơn dưới cùng một ứng suất. Độ bền nói về mức ứng suất mà vật liệu chịu được trước khi chảy hoặc gãy, và đó là một vấn đề khác.

Tính Đàn Hồi Được Dùng Ở Đâu

Tính đàn hồi rất quan trọng trong thiết kế kết cấu, lò xo, chi tiết máy, kiểm soát dao động, thử nghiệm vật liệu và mọi tình huống mà biến dạng nhỏ ảnh hưởng đến hiệu năng. Nó giúp giải thích vì sao một thước thép chỉ cong đi một ít dưới một tải nhất định, trong khi một dải cao su lại giãn ra nhiều hơn dưới kiểu chịu tải tương tự.

Giá trị thực tiễn của nó rất đơn giản: tính đàn hồi cho bạn cách dự đoán liệu một vật liệu sẽ biến dạng ít, biến dạng nhiều hay vượt hẳn ra khỏi miền tuyến tính an toàn.

Thử Một Bài Toán Tính Đàn Hồi Tương Tự

Giữ nguyên thanh đó, nhưng tăng lực lên gấp đôi. Nếu vật liệu vẫn nằm trong miền đàn hồi tuyến tính, thì ứng suất, biến dạng và độ dãn dài cũng đều tăng gấp đôi.

Nếu bạn muốn được phản hồi từng bước với các số liệu của riêng mình, hãy thử một bài toán tính đàn hồi tương tự trong GPAI Solver.