回転運動 — トルク・角運動量・慣性モーメント

回転運動とは、ある軸のまわりの運動です。手早く理解するには、3つの問いを立てるとよいです。何が物体を回そうとしているのか。回転の変化はどれくらい起こしにくいのか。物体はすでにどんな回転運動をもっているのか。

この3つの問いが、3つの中心概念につながります。トルク、慣性モーメント、角運動量です。トルクは力の回転させるはたらきを表します。慣性モーメントは、選んだ軸まわりで物体が角加速度にどれだけ抵抗するかを表します。角運動量は回転運動の量を表し、外力による合トルクがゼロなら一定に保たれます。

多くの初学者向けの問題では、次の対応で考えるとわかりやすくなります。

• トルクは力の回転版
• 慣性モーメントは質量の回転版
• 角運動量は運動量の回転版

ただし、この対応は出発点にすぎません。回転運動では、どの軸を選ぶかがすべての段階で重要です。

固定軸モデル

剛体が固定された軸のまわりを回転しているなら、基本となる式は

$$\tau_{net} = I\alpha$$

です。

ここで $\tau_{net}$ はその軸まわりの外力による合トルク、$I$ はその軸まわりの慣性モーメント、$\alpha$ は角加速度です。

同じ固定軸の状況では、その軸まわりの角運動量は

$$L = I\omega$$

となります。

ここで $\omega$ は角速度で、向きは符号の取り方や右ねじの法則で扱います。この形はすべての剛体に対する最も一般的な式ではないので、問題が明確に1本の固定軸に限られているときに使います。

トルク：てこの効果をもつ力

トルクは、ある軸まわりで力がどれだけ回そうとするかを表します。力が大きくても、作用点が軸に近かったり、力の向きがほぼ軸を通る向きだったりすると、トルクは小さくなります。

その大きさは

$$\tau = rF\sin\theta$$

です。

ここで $r$ は軸から力の作用点までの距離、$F$ は力の大きさ、$\theta$ は $\vec{r}$ と $\vec{F}$ のなす角です。

だからこそ、ドアは蝶番から遠い場所を、ドアにほぼ垂直に押すと簡単に開きます。同じ力でも、蝶番の近くで押すと生じるトルクはずっと小さくなります。

慣性モーメント：質量がどこにあるか

慣性モーメントは、質量が軸に対してどう分布しているかを表します。軸から遠い質量ほど強く効くため、この量は距離の二乗に依存します。

離散的な粒子なら、

$$I = \sum m_i r_i^2$$

です。

連続体ではこの考え方が積分になります。実用上の大事な点はもっと単純で、同じ物体でも軸が違えば慣性モーメントは異なるということです。

そのため、同じ細い棒でも、中心まわりに回すほうが端まわりに回すより簡単になります。棒そのものは変わっていなくても、軸が違うからです。

角運動量：保存される量

角運動量は回転運動を表す量で、特にトルクが小さい、あるいはゼロのときに強力な考え方になります。

最も重要な式は

$$\tau_{net} = \frac{dL}{dt}$$

です。

したがって、ある軸まわりの外力による合トルクがゼロなら、その軸まわりの角運動量は一定に保たれます。

この保存の考え方は、よく知られた現象を多く説明します。たとえばスケーターが腕を引き寄せると $I$ が小さくなるので、外部トルクが無視できて角運動量が一定なら、$\omega$ は大きくなります。

例題：一定トルクを受ける円盤

質量 $M = 2.0\ \mathrm{kg}$、半径 $R = 0.50\ \mathrm{m}$ の一様な円盤が、中心軸のまわりを回転しているとします。これに一定の合トルク $3.0\ \mathrm{N \cdot m}$ がはたらきます。最初は静止しているとします。

一様な円盤の中心まわりの慣性モーメントは

$$I = \frac{1}{2}MR^2$$

です。

したがって、

$$I = \frac{1}{2}(2.0)(0.50)^2 = 0.25\ \mathrm{kg \cdot m^2}$$

となります。

次に

$$\tau_{net} = I\alpha$$

を使って角加速度を求めると、

$$\alpha = \frac{\tau_{net}}{I} = \frac{3.0}{0.25} = 12\ \mathrm{rad/s^2}$$

です。

$2.0\ \mathrm{s}$ 後の角速度は

$$\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + (12)(2.0) = 24\ \mathrm{rad/s}$$

となります。

すると角運動量は

$$L = I\omega = (0.25)(24) = 6.0\ \mathrm{kg \cdot m^2/s}$$

です。

この例は、次の流れ全体を示しています。

1. トルクが角加速度を生む
2. その加速度の大きさは慣性モーメントに依存する
3. 物体が回転すると角運動量をもつ

回転運動でよくある間違い

トルクを力の言い換えだと思う

力とトルクは関係していますが、同じ量ではありません。トルクは、軸に対してどこにどの向きで力が加わるかに依存します。

慣性モーメントは軸に依存することを忘れる

物体に対してただ1つの普遍的な $I$ があるわけではありません。慣性モーメントを選んだり計算したりする前に、必ず軸を指定する必要があります。

モデルを確認せずに $L = I\omega$ を使う

この形は、よくある固定軸の問題ではきれいに使えます。より一般的な剛体運動では、角運動量が常に角速度と平行とは限りません。

トルクや角運動量の向きを無視する

これらの量には向きがあります。授業の問題では符号の約束や右ねじの法則で向きを扱うことが多いので、早い段階で符号を落としてしまうと答えが逆になることがあります。

回転運動はどこに現れるか

回転運動は、車輪、タービン、滑車、モーター、惑星、ジャイロスコープ、分子などに現れます。工学や物理では、回る・回転する・軌道に関わる効果を扱うときの自然な言葉です。

また、並進の力学とも直接つながっています。同じ考えの回転版と並進版を対応させると、多くの回転の問題は解きやすくなります。

• force $\leftrightarrow$ torque
• mass $\leftrightarrow$ moment of inertia
• momentum $\leftrightarrow$ angular momentum

似た問題に挑戦

同じ円盤で、質量はそのままに半径だけを2倍にしてみましょう。$I$ は $R^2$ によって変わるので、慣性モーメントは大きくなり、同じトルクでも角加速度は小さくなります。

この場合を自分で計算してみてください。新しい $I$ を求め、次に新しい $\alpha$ と、同じ $2.0\ \mathrm{s}$ 後の新しい $L$ を求めてみましょう。