Moto rotazionale — Momento torcente, momento angolare e momento d'inerzia

Il moto rotazionale è il moto attorno a un asse. Per capirlo rapidamente, poniti tre domande: che cosa sta cercando di far ruotare l’oggetto? Quanto è difficile modificare quella rotazione? Quale moto rotazionale possiede già l’oggetto?

Queste tre domande portano alle tre idee fondamentali: momento torcente, momento d’inerzia e momento angolare. Il momento torcente misura l’effetto rotazionale di una forza. Il momento d’inerzia misura quanto fortemente l’oggetto si oppone all’accelerazione angolare rispetto a un asse scelto. Il momento angolare misura il moto rotazionale e resta costante quando il momento torcente esterno risultante è nullo.

Per molti problemi introduttivi, questa analogia rapida è utile:

• il momento torcente è la versione rotazionale della forza
• il momento d’inerzia è la versione rotazionale della massa
• il momento angolare è la versione rotazionale della quantità di moto lineare

Questa analogia è solo un punto di partenza. Nel moto rotazionale, la scelta dell’asse conta in ogni passaggio.

Il modello ad asse fisso

Se un corpo rigido ruota attorno a un asse fisso, l’equazione di partenza standard è

$$\tau_{net} = I\alpha$$

Qui $\tau_{net}$ è il momento torcente esterno risultante rispetto all’asse, $I$ è il momento d’inerzia rispetto a quell’asse e $\alpha$ è l’accelerazione angolare.

Nello stesso contesto di asse fisso, il momento angolare rispetto a quell’asse è

$$L = I\omega$$

dove $\omega$ è la velocità angolare, con la direzione gestita dalla convenzione dei segni o dalla regola della mano destra. Questa forma non è la legge più generale per ogni corpo rigido, quindi usala quando il problema resta chiaramente riferito a un solo asse fisso.

Momento torcente: forza con braccio

Il momento torcente misura l’effetto rotazionale di una forza rispetto a un asse. Una forza può essere grande e produrre comunque poco momento torcente se agisce vicino all’asse o è diretta quasi lungo di esso.

Il suo modulo è

$$\tau = rF\sin\theta$$

dove $r$ è la distanza dall’asse al punto in cui agisce la forza, $F$ è il modulo della forza e $\theta$ è l’angolo tra $\vec{r}$ e $\vec{F}$.

Ecco perché una porta si apre facilmente quando spingi lontano dalla cerniera e quasi perpendicolarmente alla porta. La stessa forza applicata vicino alla cerniera produce un momento torcente molto minore.

Momento d’inerzia: dove si trova la massa

Il momento d’inerzia indica come la massa è distribuita rispetto all’asse. La massa più lontana dall’asse contribuisce di più, ed è per questo che la grandezza dipende dal quadrato della distanza.

Per particelle discrete,

$$I = \sum m_i r_i^2$$

e per un corpo continuo l’idea diventa un integrale. Il punto pratico principale è più semplice: lo stesso oggetto può avere momenti d’inerzia diversi rispetto ad assi diversi.

Per questo una sbarra lunga è più facile da far ruotare attorno al suo centro che attorno a un’estremità, anche se la sbarra in sé non è cambiata.

Momento angolare: ciò che resta costante

Il momento angolare descrive il moto rotazionale in un modo che diventa particolarmente potente quando il momento torcente è piccolo o nullo.

La regola più importante è

$$\tau_{net} = \frac{dL}{dt}$$

Quindi, se il momento torcente esterno risultante rispetto a un asse è nullo, il momento angolare rispetto a quell’asse resta costante.

Questa idea di conservazione spiega molti effetti familiari. Un pattinatore che raccoglie le braccia riduce $I$, quindi $\omega$ aumenta se il momento torcente esterno è trascurabile e il momento angolare resta lo stesso.

Esempio svolto: un disco soggetto a momento torcente costante

Considera un disco pieno uniforme di massa $M = 2.0\ \mathrm{kg}$ e raggio $R = 0.50\ \mathrm{m}$ che ruota attorno al suo asse centrale. Su di esso agisce un momento torcente risultante costante di $3.0\ \mathrm{N \cdot m}$. Supponi che parta da fermo.

Per un disco pieno uniforme rispetto al suo centro,

$$I = \frac{1}{2}MR^2$$

Quindi

$$I = \frac{1}{2}(2.0)(0.50)^2 = 0.25\ \mathrm{kg \cdot m^2}$$

Ora usa

$$\tau_{net} = I\alpha$$

per trovare l’accelerazione angolare:

$$\alpha = \frac{\tau_{net}}{I} = \frac{3.0}{0.25} = 12\ \mathrm{rad/s^2}$$

Dopo $2.0\ \mathrm{s}$, la velocità angolare è

$$\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + (12)(2.0) = 24\ \mathrm{rad/s}$$

Allora il momento angolare è

$$L = I\omega = (0.25)(24) = 6.0\ \mathrm{kg \cdot m^2/s}$$

Questo esempio mostra l’intera catena:

1. il momento torcente produce accelerazione angolare
2. l’entità dell’accelerazione dipende dal momento d’inerzia
3. una volta che l’oggetto ruota, possiede momento angolare

Errori comuni nel moto rotazionale

Trattare il momento torcente come se fosse solo un altro nome della forza

Forza e momento torcente sono collegati, ma non sono la stessa grandezza. Il momento torcente dipende da dove e da come la forza è applicata rispetto all’asse.

Dimenticare che il momento d’inerzia dipende dall’asse

Non esiste un unico $I$ universale per un oggetto. Devi specificare l’asse prima di scegliere o calcolare il momento d’inerzia.

Usare $L = I\omega$ senza controllare il modello

Questa forma funziona bene nei comuni problemi ad asse fisso. Nel moto più generale di un corpo rigido, il momento angolare non è sempre parallelo alla velocità angolare.

Ignorare la direzione del momento torcente e del momento angolare

Queste grandezze hanno una direzione. In molti problemi di corso la convenzione dei segni o la regola della mano destra gestiscono quella direzione, quindi eliminare il segno troppo presto può invertire la risposta.

Dove compare il moto rotazionale

Il moto rotazionale compare in ruote, turbine, pulegge, motori, pianeti, giroscopi e molecole. In ingegneria e in fisica, è il linguaggio naturale ogni volta che contano effetti di rotazione, spin o legati alle orbite.

Si collega anche direttamente alla meccanica lineare. Molti problemi di rotazione diventano più semplici quando metti in corrispondenza le versioni rotazionali e lineari della stessa idea:

• forza $\leftrightarrow$ momento torcente
• massa $\leftrightarrow$ momento d’inerzia
• quantità di moto $\leftrightarrow$ momento angolare

Prova un problema simile

Considera lo stesso disco, ma raddoppia il raggio mantenendo la stessa massa. Poiché $I$ cambia con $R^2$, il momento d’inerzia diventa maggiore, quindi lo stesso momento torcente produce un’accelerazione angolare minore.

Prova tu questa versione: calcola il nuovo $I$, poi trova il nuovo $\alpha$ e il nuovo $L$ dopo gli stessi $2.0\ \mathrm{s}$.