Ruch obrotowy — moment siły, moment pędu i moment bezwładności

Ruch obrotowy to ruch wokół osi. Aby szybko go zrozumieć, zadaj trzy pytania: Co próbuje obrócić obiekt? Jak trudno jest zmienić ten obrót? Jaki ruch obrotowy obiekt już ma?

Te trzy pytania prowadzą do trzech podstawowych pojęć: momentu siły, momentu bezwładności i momentu pędu. Moment siły mierzy efekt obrotowy działania siły. Moment bezwładności określa, jak silnie obiekt przeciwstawia się przyspieszeniu kątowemu względem wybranej osi. Moment pędu opisuje ruch obrotowy i pozostaje stały, gdy wypadkowy moment siły zewnętrznej jest równy zeru.

W wielu zadaniach wprowadzających pomaga taka szybka analogia:

• moment siły jest obrotowym odpowiednikiem siły
• moment bezwładności jest obrotowym odpowiednikiem masy
• moment pędu jest obrotowym odpowiednikiem pędu liniowego

Ta analogia jest tylko punktem wyjścia. W ruchu obrotowym wybór osi ma znaczenie na każdym etapie.

Model ze stałą osią

Jeśli bryła sztywna obraca się wokół stałej osi, standardowym równaniem wyjściowym jest

$$\tau_{net} = I\alpha$$

Tutaj $\tau_{net}$ to wypadkowy moment siły zewnętrznej względem osi, $I$ to moment bezwładności względem tej osi, a $\alpha$ to przyspieszenie kątowe.

W tym samym przypadku ruchu wokół stałej osi moment pędu względem tej osi wynosi

$$L = I\omega$$

gdzie $\omega$ jest prędkością kątową, a kierunek uwzględnia przyjęta konwencja znaków lub reguła prawej dłoni. Ta postać nie jest najbardziej ogólną zasadą dla każdej bryły sztywnej, więc używaj jej wtedy, gdy zadanie wyraźnie dotyczy jednej stałej osi.

Moment siły: siła z ramieniem

Moment siły mierzy efekt obrotowy siły względem osi. Siła może być duża, a mimo to dawać mały moment siły, jeśli działa blisko osi albo jest skierowana prawie przez nią.

Jego wartość wynosi

$$\tau = rF\sin\theta$$

gdzie $r$ to odległość od osi do punktu przyłożenia siły, $F$ to wartość siły, a $\theta$ to kąt między $\vec{r}$ i $\vec{F}$.

Dlatego drzwi otwierają się łatwo, gdy pchasz daleko od zawiasu i prawie prostopadle do drzwi. Ta sama siła przyłożona blisko zawiasu daje znacznie mniejszy moment siły.

Moment bezwładności: gdzie znajduje się masa

Moment bezwładności mówi, jak masa jest rozmieszczona względem osi. Masa położona dalej od osi wnosi większy wkład, dlatego ta wielkość zależy od kwadratu odległości.

Dla układu cząstek dyskretnych

$$I = \sum m_i r_i^2$$

a dla ciała ciągłego idea ta przechodzi w całkę. Najważniejszy praktyczny wniosek jest prostszy: ten sam obiekt może mieć różne momenty bezwładności względem różnych osi.

Dlatego długi pręt łatwiej wprawić w ruch obrotowy wokół środka niż wokół jednego końca, mimo że sam pręt się nie zmienił.

Moment pędu: co pozostaje stałe

Moment pędu opisuje ruch obrotowy w sposób, który staje się szczególnie użyteczny, gdy moment siły jest mały albo równy zeru.

Najważniejsza zasada to

$$\tau_{net} = \frac{dL}{dt}$$

Zatem jeśli wypadkowy moment siły zewnętrznej względem osi jest równy zeru, moment pędu względem tej osi pozostaje stały.

Ta zasada zachowania wyjaśnia wiele znanych zjawisk. Łyżwiarz, który przyciąga ręce do ciała, zmniejsza $I$, więc $\omega$ rośnie, jeśli zewnętrzny moment siły jest pomijalny, a moment pędu pozostaje taki sam.

Przykład obliczeniowy: dysk pod działaniem stałego momentu siły

Rozważ jednorodny pełny dysk o masie $M = 2.0\ \mathrm{kg}$ i promieniu $R = 0.50\ \mathrm{m}$, obracający się wokół swojej osi centralnej. Działa na niego stały wypadkowy moment siły równy $3.0\ \mathrm{N \cdot m}$. Załóż, że początkowo spoczywa.

Dla jednorodnego pełnego dysku obracającego się wokół środka

$$I = \frac{1}{2}MR^2$$

Zatem

$$I = \frac{1}{2}(2.0)(0.50)^2 = 0.25\ \mathrm{kg \cdot m^2}$$

Teraz użyj

$$\tau_{net} = I\alpha$$

aby wyznaczyć przyspieszenie kątowe:

$$\alpha = \frac{\tau_{net}}{I} = \frac{3.0}{0.25} = 12\ \mathrm{rad/s^2}$$

Po $2.0\ \mathrm{s}$ prędkość kątowa wynosi

$$\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + (12)(2.0) = 24\ \mathrm{rad/s}$$

Wtedy moment pędu jest równy

$$L = I\omega = (0.25)(24) = 6.0\ \mathrm{kg \cdot m^2/s}$$

Ten przykład pokazuje cały ciąg zależności:

1. moment siły powoduje przyspieszenie kątowe
2. wartość przyspieszenia zależy od momentu bezwładności
3. gdy obiekt już się obraca, ma moment pędu

Typowe błędy w ruchu obrotowym

Traktowanie momentu siły jako po prostu innego słowa na siłę

Siła i moment siły są ze sobą powiązane, ale nie są tą samą wielkością. Moment siły zależy od tego, gdzie i jak siła jest przyłożona względem osi.

Zapominanie, że moment bezwładności zależy od osi

Nie istnieje jeden uniwersalny $I$ dla danego obiektu. Przed wyborem lub obliczeniem momentu bezwładności trzeba określić oś.

Używanie $L = I\omega$ bez sprawdzenia modelu

Ta postać działa jasno i poprawnie w typowych zadaniach ze stałą osią. W bardziej ogólnym ruchu bryły sztywnej moment pędu nie zawsze jest równoległy do prędkości kątowej.

Ignorowanie kierunku momentu siły i momentu pędu

Te wielkości mają kierunek. W wielu zadaniach szkolnych uwzględnia go konwencja znaków lub reguła prawej dłoni, więc zbyt wczesne pominięcie znaku może odwrócić odpowiedź.

Gdzie pojawia się ruch obrotowy

Ruch obrotowy występuje w kołach, turbinach, bloczkach, silnikach, planetach, żyroskopach i cząsteczkach. W fizyce i inżynierii jest naturalnym językiem wszędzie tam, gdzie znaczenie mają obracanie, wirowanie lub efekty związane z orbitą.

Łączy się też bezpośrednio z mechaniką liniową. Wiele zadań z obrotu staje się łatwiejszych, gdy zestawisz obrotowe i liniowe wersje tej samej idei:

• siła $\leftrightarrow$ moment siły
• masa $\leftrightarrow$ moment bezwładności
• pęd $\leftrightarrow$ moment pędu

Spróbuj podobnego zadania

Zachowaj ten sam dysk, ale podwój promień przy tej samej masie. Ponieważ $I$ zmienia się jak $R^2$, moment bezwładności staje się większy, więc ten sam moment siły daje mniejsze przyspieszenie kątowe.

Spróbuj samodzielnie tej wersji: oblicz nowe $I$, a następnie wyznacz nowe $\alpha$ i nowe $L$ po tym samym czasie $2.0\ \mathrm{s}$.