仕事とエネルギーの定理

仕事とエネルギーの定理は、物体にされた合計の仕事が、その物体の運動エネルギーの変化に等しいことを表します。

$$W_{net} = \Delta K$$

この1行が中心となる考え方です。合計の仕事が正なら物体は速くなり、負なら遅くなります。

力がある距離にわたってどのように働くかわかっていれば、この定理から速度の変化を直接求められることがよくあります。毎瞬間の加速度をいちいち解く必要はありません。

仕事とエネルギーの定理の公式

古典力学で物体を質点として扱うとき、

$$W_{net} = K_f - K_i = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$$

ここで、$K_i$ は初めの運動エネルギー、$K_f$ は最後の運動エネルギーです。「合計」という言葉が重要で、この定理で使うのは1つの力による仕事ではなく、すべての力による仕事の総和です。

なぜ合計の仕事が重要なのか

仕事とは、力が変位にわたって作用することで移されるエネルギーです。力が運動方向の成分をもつと正の仕事をし、運動に逆らう向きなら負の仕事をし、運動に垂直なら仕事は0です。

そのため、摩擦はふつう運動エネルギーを減らし、外から加える押す力は運動エネルギーを増やします。この定理では、それらすべての寄与を足し合わせて、その結果を速度の変化と比べます。

例題：停止距離を求める

質量 $2\,\mathrm{kg}$ の物体が、水平な床の上を初速度 $4\,\mathrm{m/s}$ で滑っています。動摩擦力の大きさは一定で $8\,\mathrm{N}$、向きは運動と反対です。物体は停止するまでに何 m 滑るでしょうか。

まず、初めと最後の運動エネルギーを書きます。

$$K_i = \frac{1}{2}(2)(4^2) = 16\,\mathrm{J}$$ $$K_f = 0$$

したがって、運動エネルギーの変化は

$$\Delta K = K_f - K_i = -16\,\mathrm{J}$$

合計の仕事は摩擦によるものです。水平移動では、垂直抗力と重力は運動に垂直なので仕事をしません。停止距離を $d$ とすると、

$$W_{net} = -8d$$

定理を使うと、

$$-8d = -16$$ $$d = 2\,\mathrm{m}$$

したがって、物体は停止するまでに $2\,\mathrm{m}$ 滑ります。摩擦による負の仕事が、$16\,\mathrm{J}$ の運動エネルギーの減少と一致しています。

仕事とエネルギーの定理でよくある間違い

• 定理で必要なのはすべての力による合計の仕事なのに、1つの力の仕事だけを使ってしまう。
• 負の仕事を「物体が後ろ向きに動くこと」と考えてしまう。これは選んだ符号の約束のもとで、運動エネルギーが減ることを意味するだけです。
• この定理は一定の力にしか使えないと思い込む。重要なのは、運動全体にわたる合計の仕事です。
• 仕事とエネルギーの定理と、力学的エネルギー保存を混同してしまう。

仕事とエネルギーの定理を使う場面

この定理は、運動の時間変化全体ではなく、ある距離にわたる速度の変化を知りたいときに特に便利です。ブレーキ、斜面、ばね、摩擦、そして力が変化する多くの問題で登場します。

ニュートンの第2法則を使うと先に加速度を求めなければならない場合でも、この定理なら最短で解けることがよくあります。合計の仕事を計算できれば、速度の変化にすぐ結びつけられます。

仕事とエネルギーの定理とエネルギー保存則の違い

仕事とエネルギーの定理は常に

$$W_{net} = \Delta K$$

と表されます。これは初等的な古典力学で非常に一般的に成り立つ関係です。一方、力学的エネルギー保存が成り立つには、摩擦などの非保存的な効果による損失を無視できることなど、追加の条件が必要です。

この2つの考え方を区別しておくと、多くの混乱を防げます。力学的エネルギーが保存しない場合でも、仕事とエネルギーの定理は使えます。

類題に挑戦してみよう

同じ問題で、初速度を2倍にしたり、摩擦力を半分にしたりして自分で試してみましょう。まず新しい停止距離を予想し、そのあと計算して、直感と結果を比べてみてください。