Movimiento rotacional — torque, momento angular y momento de inercia

El movimiento rotacional es el movimiento alrededor de un eje. Para entenderlo rápido, hazte tres preguntas: ¿qué está intentando hacer girar al objeto? ¿Qué tan difícil es cambiar esa rotación? ¿Qué movimiento rotacional tiene ya el objeto?

Esas tres preguntas llevan a las tres ideas centrales: torque, momento de inercia y momento angular. El torque mide el efecto de giro de una fuerza. El momento de inercia mide qué tan fuertemente el objeto se resiste a la aceleración angular respecto de un eje elegido. El momento angular mide el movimiento rotacional y se mantiene constante cuando el torque externo neto es cero.

Para muchos problemas introductorios, esta analogía rápida ayuda:

• el torque es la versión rotacional de la fuerza
• el momento de inercia es la versión rotacional de la masa
• el momento angular es la versión rotacional del momento lineal

Esa analogía es solo un punto de partida. En el movimiento rotacional, la elección del eje importa en cada paso.

El modelo de eje fijo

Si un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo, la ecuación inicial estándar es

$$\tau_{net} = I\alpha$$

Aquí $\tau_{net}$ es el torque externo neto respecto del eje, $I$ es el momento de inercia respecto de ese eje y $\alpha$ es la aceleración angular.

En el mismo caso de eje fijo, el momento angular respecto de ese eje es

$$L = I\omega$$

donde $\omega$ es la rapidez angular, con la dirección manejada por tu convención de signos o la regla de la mano derecha. Esta forma no es la regla más general para todo cuerpo rígido, así que úsala cuando el problema se mantenga claramente en un solo eje fijo.

Torque: fuerza con brazo de palanca

El torque mide el efecto de giro de una fuerza respecto de un eje. Una fuerza puede ser grande y aun así producir poco torque si actúa cerca del eje o apunta casi a través de él.

Su magnitud es

$$\tau = rF\sin\theta$$

donde $r$ es la distancia desde el eje hasta el punto donde actúa la fuerza, $F$ es la magnitud de la fuerza y $\theta$ es el ángulo entre $\vec{r}$ y $\vec{F}$.

Por eso una puerta se abre fácilmente cuando empujas lejos de la bisagra y casi perpendicular a la puerta. La misma fuerza cerca de la bisagra produce mucho menos torque.

Momento de inercia: dónde está la masa

El momento de inercia te dice cómo está distribuida la masa con respecto al eje. La masa más alejada del eje contribuye más fuertemente, por eso la magnitud depende del cuadrado de la distancia.

Para partículas discretas,

$$I = \sum m_i r_i^2$$

y para un cuerpo continuo la idea se convierte en una integral. El punto práctico principal es más simple: el mismo objeto puede tener distintos momentos de inercia respecto de distintos ejes.

Por eso una varilla larga es más fácil de hacer girar alrededor de su centro que alrededor de un extremo, aunque la varilla en sí no haya cambiado.

Momento angular: lo que permanece constante

El momento angular describe el movimiento rotacional de una forma que se vuelve especialmente poderosa cuando el torque es pequeño o cero.

La regla más importante es

$$\tau_{net} = \frac{dL}{dt}$$

Así que, si el torque externo neto respecto de un eje es cero, el momento angular respecto de ese eje permanece constante.

Esa idea de conservación explica muchos efectos conocidos. Un patinador que recoge los brazos reduce $I$, así que $\omega$ aumenta si el torque externo es despreciable y el momento angular se mantiene igual.

Ejemplo resuelto: un disco bajo torque constante

Toma un disco sólido uniforme de masa $M = 2.0\ \mathrm{kg}$ y radio $R = 0.50\ \mathrm{m}$ que gira alrededor de su eje central. Sobre él actúa un torque neto constante de $3.0\ \mathrm{N \cdot m}$. Supón que parte del reposo.

Para un disco sólido uniforme respecto de su centro,

$$I = \frac{1}{2}MR^2$$

Entonces

$$I = \frac{1}{2}(2.0)(0.50)^2 = 0.25\ \mathrm{kg \cdot m^2}$$

Ahora usa

$$\tau_{net} = I\alpha$$

para hallar la aceleración angular:

$$\alpha = \frac{\tau_{net}}{I} = \frac{3.0}{0.25} = 12\ \mathrm{rad/s^2}$$

Después de $2.0\ \mathrm{s}$, la rapidez angular es

$$\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + (12)(2.0) = 24\ \mathrm{rad/s}$$

Entonces el momento angular es

$$L = I\omega = (0.25)(24) = 6.0\ \mathrm{kg \cdot m^2/s}$$

Este ejemplo muestra la cadena completa:

1. el torque causa aceleración angular
2. la cantidad de aceleración depende del momento de inercia
3. una vez que el objeto está girando, tiene momento angular

Errores comunes en movimiento rotacional

Tratar el torque como si fuera solo otra palabra para fuerza

La fuerza y el torque están relacionados, pero no son la misma magnitud. El torque depende de dónde y cómo se aplica la fuerza con respecto al eje.

Olvidar que el momento de inercia depende del eje

No existe un único $I$ universal para un objeto. Debes especificar el eje antes de elegir o calcular el momento de inercia.

Usar $L = I\omega$ sin comprobar el modelo

Esa forma funciona limpiamente en problemas comunes de eje fijo. En movimientos más generales de cuerpos rígidos, el momento angular no siempre es paralelo a la velocidad angular.

Ignorar la dirección del torque y del momento angular

Estas magnitudes tienen dirección. En muchos problemas de clase, la convención de signos o la regla de la mano derecha maneja esa dirección, así que eliminar el signo demasiado pronto puede invertir la respuesta.

Dónde aparece el movimiento rotacional

El movimiento rotacional aparece en ruedas, turbinas, poleas, motores, planetas, giroscopios y moléculas. En ingeniería y física, es el lenguaje natural siempre que importan los efectos de girar, rotar o de las órbitas.

También se conecta directamente con la mecánica lineal. Muchos problemas de rotación se vuelven más fáciles una vez que alineas las versiones rotacionales y lineales de la misma idea:

• fuerza $\leftrightarrow$ torque
• masa $\leftrightarrow$ momento de inercia
• momento lineal $\leftrightarrow$ momento angular

Prueba un problema similar

Mantén el mismo disco, pero duplica el radio mientras la masa sigue siendo la misma. Como $I$ cambia con $R^2$, el momento de inercia se vuelve mayor, así que el mismo torque produce una aceleración angular menor.

Prueba esa versión por tu cuenta: calcula el nuevo $I$, luego halla la nueva $\alpha$ y el nuevo $L$ después de los mismos $2.0\ \mathrm{s}$.