Gerak Rotasi — Torsi, Momentum Sudut & Momen Inersia

Gerak rotasi adalah gerak mengelilingi suatu sumbu. Untuk memahaminya dengan cepat, ajukan tiga pertanyaan: Apa yang berusaha memutar benda? Seberapa sulit mengubah putaran itu? Gerak rotasi apa yang sudah dimiliki benda?

Tiga pertanyaan itu mengarah ke tiga gagasan inti: torsi, momen inersia, dan momentum sudut. Torsi mengukur efek memutar dari suatu gaya. Momen inersia mengukur seberapa kuat benda menahan percepatan sudut terhadap sumbu yang dipilih. Momentum sudut mengukur gerak rotasi dan tetap konstan ketika torsi eksternal resultan bernilai nol.

Untuk banyak soal pengantar, analogi cepat ini membantu:

• torsi adalah versi rotasi dari gaya
• momen inersia adalah versi rotasi dari massa
• momentum sudut adalah versi rotasi dari momentum linear

Analogi itu hanya titik awal. Dalam gerak rotasi, pilihan sumbu penting pada setiap langkah.

Model Sumbu Tetap

Jika sebuah benda tegar berotasi terhadap sumbu tetap, persamaan awal standarnya adalah

$$\tau_{net} = I\alpha$$

Di sini $\tau_{net}$ adalah torsi eksternal resultan terhadap sumbu, $I$ adalah momen inersia terhadap sumbu itu, dan $\alpha$ adalah percepatan sudut.

Dalam kondisi sumbu tetap yang sama, momentum sudut terhadap sumbu itu adalah

$$L = I\omega$$

dengan $\omega$ sebagai kecepatan sudut, sementara arahnya ditentukan oleh konvensi tanda atau kaidah tangan kanan. Bentuk ini bukan aturan paling umum untuk setiap benda tegar, jadi gunakan saat soal jelas tetap pada satu sumbu tetap.

Torsi: Gaya Dengan Lengan Momen

Torsi mengukur efek memutar dari suatu gaya terhadap sebuah sumbu. Suatu gaya bisa besar tetapi tetap menghasilkan torsi kecil jika bekerja dekat sumbu atau arahnya hampir melalui sumbu.

Besarnya adalah

$$\tau = rF\sin\theta$$

dengan $r$ jarak dari sumbu ke titik kerja gaya, $F$ besar gaya, dan $\theta$ sudut antara $\vec{r}$ dan $\vec{F}$.

Inilah sebabnya pintu mudah dibuka saat Anda mendorong jauh dari engsel dan hampir tegak lurus terhadap pintu. Gaya yang sama di dekat engsel menghasilkan torsi yang jauh lebih kecil.

Momen Inersia: Letak Massanya

Momen inersia memberi tahu bagaimana massa terdistribusi relatif terhadap sumbu. Massa yang lebih jauh dari sumbu memberi kontribusi lebih besar, itulah sebabnya besaran ini bergantung pada kuadrat jarak.

Untuk partikel diskret,

$$I = \sum m_i r_i^2$$

dan untuk benda kontinu, gagasannya menjadi integral. Poin praktis utamanya lebih sederhana: benda yang sama dapat memiliki momen inersia yang berbeda terhadap sumbu yang berbeda.

Itulah sebabnya batang panjang lebih mudah diputar terhadap pusatnya daripada terhadap salah satu ujungnya, meskipun batangnya sendiri tidak berubah.

Momentum Sudut: Apa Yang Tetap Konstan

Momentum sudut menggambarkan gerak rotasi dengan cara yang menjadi sangat kuat terutama ketika torsi kecil atau nol.

Aturan yang paling penting adalah

$$\tau_{net} = \frac{dL}{dt}$$

Jadi jika torsi eksternal resultan terhadap suatu sumbu bernilai nol, momentum sudut terhadap sumbu itu tetap konstan.

Gagasan kekekalan itu menjelaskan banyak efek yang akrab. Seorang skater yang menarik lengannya ke dalam mengurangi $I$, sehingga $\omega$ meningkat jika torsi eksternal dapat diabaikan dan momentum sudut tetap sama.

Contoh Soal: Sebuah Cakram Dengan Torsi Konstan

Ambil sebuah cakram pejal seragam bermassa $M = 2.0\ \mathrm{kg}$ dan berjari-jari $R = 0.50\ \mathrm{m}$ yang berotasi terhadap sumbu pusatnya. Sebuah torsi resultan konstan sebesar $3.0\ \mathrm{N \cdot m}$ bekerja padanya. Anggap mula-mula diam.

Untuk cakram pejal seragam terhadap pusatnya,

$$I = \frac{1}{2}MR^2$$

Maka

$$I = \frac{1}{2}(2.0)(0.50)^2 = 0.25\ \mathrm{kg \cdot m^2}$$

Sekarang gunakan

$$\tau_{net} = I\alpha$$

untuk mencari percepatan sudut:

$$\alpha = \frac{\tau_{net}}{I} = \frac{3.0}{0.25} = 12\ \mathrm{rad/s^2}$$

Setelah $2.0\ \mathrm{s}$, kecepatan sudutnya adalah

$$\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + (12)(2.0) = 24\ \mathrm{rad/s}$$

Lalu momentum sudutnya adalah

$$L = I\omega = (0.25)(24) = 6.0\ \mathrm{kg \cdot m^2/s}$$

Contoh ini menunjukkan rangkaian lengkapnya:

1. torsi menyebabkan percepatan sudut
2. besar percepatan bergantung pada momen inersia
3. setelah benda berputar, benda itu memiliki momentum sudut

Kesalahan Umum Dalam Gerak Rotasi

Menganggap torsi hanya kata lain untuk gaya

Gaya dan torsi saling berkaitan, tetapi keduanya bukan besaran yang sama. Torsi bergantung pada di mana dan bagaimana gaya diterapkan relatif terhadap sumbu.

Lupa bahwa momen inersia bergantung pada sumbu

Tidak ada satu nilai $I$ universal untuk suatu benda. Anda harus menentukan sumbunya sebelum memilih atau menghitung momen inersia.

Menggunakan $L = I\omega$ tanpa memeriksa modelnya

Bentuk itu bekerja dengan rapi pada soal-soal umum sumbu tetap. Dalam gerak benda tegar yang lebih umum, momentum sudut tidak selalu sejajar dengan kecepatan sudut.

Mengabaikan arah torsi dan momentum sudut

Besaran-besaran ini memiliki arah. Dalam banyak soal kelas, konvensi tanda atau kaidah tangan kanan menangani arah itu, jadi menghilangkan tanda terlalu cepat bisa membalik jawaban.

Di Mana Gerak Rotasi Muncul

Gerak rotasi muncul pada roda, turbin, katrol, motor, planet, giroskop, dan molekul. Dalam teknik dan fisika, ini adalah bahasa alami setiap kali efek berputar, berotasi, atau terkait orbit menjadi penting.

Gerak rotasi juga terhubung langsung dengan mekanika linear. Banyak soal rotasi menjadi lebih mudah setelah Anda menyelaraskan versi rotasi dan linear dari gagasan yang sama:

• gaya $\leftrightarrow$ torsi
• massa $\leftrightarrow$ momen inersia
• momentum $\leftrightarrow$ momentum sudut

Coba Soal Serupa

Gunakan cakram yang sama, tetapi gandakan jari-jarinya sambil mempertahankan massanya tetap sama. Karena $I$ berubah terhadap $R^2$, momen inersianya menjadi lebih besar, sehingga torsi yang sama menghasilkan percepatan sudut yang lebih kecil.

Coba versi itu sendiri: hitung $I$ yang baru, lalu cari $\alpha$ yang baru dan $L$ yang baru setelah $2.0\ \mathrm{s}$ yang sama.