Dönme Hareketi — Tork, Açısal Momentum ve Eylemsizlik Momenti

Dönme hareketi, bir eksen etrafındaki harekettir. Bunu hızlıca anlamak için üç soru sorun: Cismi döndürmeye çalışan nedir? Bu dönmeyi değiştirmek ne kadar zordur? Cismin zaten sahip olduğu dönme hareketi nedir?

Bu üç soru, üç temel kavra götürür: tork, eylemsizlik momenti ve açısal momentum. Tork, bir kuvvetin döndürücü etkisini ölçer. Eylemsizlik momenti, cismin seçilen bir eksen etrafındaki açısal ivmeye ne kadar güçlü şekilde karşı koyduğunu ölçer. Açısal momentum ise dönme hareketini ölçer ve net dış tork sıfır olduğunda sabit kalır.

Birçok giriş düzeyi problem için şu benzetme yardımcı olur:

• tork, kuvvetin dönmeye karşılık gelen hâlidir
• eylemsizlik momenti, kütlenin dönmeye karşılık gelen hâlidir
• açısal momentum, doğrusal momentumun dönmeye karşılık gelen hâlidir

Bu benzetme yalnızca bir başlangıçtır. Dönme hareketinde eksen seçimi her adımda önemlidir.

Sabit Eksen Modeli

Bir rijit cisim sabit bir eksen etrafında dönüyorsa, standart başlangıç denklemi şudur:

$$\tau_{net} = I\alpha$$

Burada $\tau_{net}$ eksene göre net dış tork, $I$ o eksene göre eylemsizlik momenti ve $\alpha$ açısal ivmedir.

Aynı sabit eksen durumunda, o eksene göre açısal momentum

$$L = I\omega$$

şeklindedir.

Burada $\omega$ açısal hızın büyüklüğüdür; yön ise işaret konvansiyonu veya sağ el kuralıyla belirlenir. Bu ifade her rijit cisim için en genel kural değildir; bu yüzden problemi açıkça tek bir sabit eksende kaldığında kullanın.

Tork: Kaldıraç Etkisine Sahip Kuvvet

Tork, bir kuvvetin bir eksen etrafındaki döndürücü etkisini ölçer. Bir kuvvet büyük olabilir ama eksene çok yakın uygulanıyorsa ya da neredeyse eksenden geçecek yöndeyse yine de küçük tork üretebilir.

Büyüklüğü

$$\tau = rF\sin\theta$$

şeklindedir.

Burada $r$, eksenden kuvvetin uygulandığı noktaya olan uzaklık; $F$, kuvvetin büyüklüğü; $\theta$ ise $\vec{r}$ ile $\vec{F}$ arasındaki açıdır.

Bu yüzden bir kapıyı menteşeden uzakta ve kapıya neredeyse dik olacak şekilde ittiğinizde kolay açarsınız. Aynı kuvvet menteşeye yakın uygulanırsa çok daha az tork üretir.

Eylemsizlik Momenti: Kütlenin Nerede Olduğu

Eylemsizlik momenti, kütlenin eksene göre nasıl dağıldığını söyler. Eksenden daha uzakta bulunan kütle daha güçlü katkı yapar; bu yüzden nicelik uzaklığın karesiyle ilişkilidir.

Ayrık parçacıklar için

$$I = \sum m_i r_i^2$$

olur; sürekli bir cisim için ise bu fikir bir integrale dönüşür. Pratikte asıl önemli nokta daha basittir: aynı cismin farklı eksenlere göre farklı eylemsizlik momentleri olabilir.

Bu nedenle uzun bir çubuğu merkezinden döndürmek, bir ucundan döndürmeye göre daha kolaydır; çubuğun kendisi değişmemiş olsa bile.

Açısal Momentum: Sabit Kalan Nicelik

Açısal momentum, dönme hareketini özellikle torkun küçük ya da sıfır olduğu durumlarda çok güçlü hâle gelen bir şekilde tanımlar.

En önemli kural şudur:

$$\tau_{net} = \frac{dL}{dt}$$

Dolayısıyla bir eksene göre net dış tork sıfırsa, o eksene göre açısal momentum sabit kalır.

Bu korunma fikri birçok tanıdık etkiyi açıklar. Kollarını içeri çeken bir patenci $I$ değerini azaltır; bu yüzden dış tork ihmal edilebilirse ve açısal momentum aynı kalırsa $\omega$ artar.

Çözümlü Örnek: Sabit Tork Altındaki Bir Disk

Kütlesi $M = 2.0\ \mathrm{kg}$ ve yarıçapı $R = 0.50\ \mathrm{m}$ olan düzgün, dolu bir diskin merkez ekseni etrafında döndüğünü düşünün. Diske sabit büyüklükte $3.0\ \mathrm{N \cdot m}$ net tork etki ediyor olsun. Başlangıçta durgun olduğunu varsayın.

Merkezinden dönen düzgün dolu bir disk için

$$I = \frac{1}{2}MR^2$$

olur.

Dolayısıyla

$$I = \frac{1}{2}(2.0)(0.50)^2 = 0.25\ \mathrm{kg \cdot m^2}$$

Şimdi açısal ivmeyi bulmak için

$$\tau_{net} = I\alpha$$

bağıntısını kullanın:

$$\alpha = \frac{\tau_{net}}{I} = \frac{3.0}{0.25} = 12\ \mathrm{rad/s^2}$$

$2.0\ \mathrm{s}$ sonra açısal hız

$$\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + (12)(2.0) = 24\ \mathrm{rad/s}$$

olur.

Buna göre açısal momentum

$$L = I\omega = (0.25)(24) = 6.0\ \mathrm{kg \cdot m^2/s}$$

şeklindedir.

Bu örnek tüm zinciri gösterir:

1. tork açısal ivmeye neden olur
2. ivmenin miktarı eylemsizlik momentine bağlıdır
3. cisim dönmeye başladığında açısal momentuma sahip olur

Dönme Hareketinde Yaygın Hatalar

Torku sadece kuvvetin başka bir adı sanmak

Kuvvet ve tork ilişkilidir, ama aynı nicelik değildir. Tork, kuvvetin eksene göre nerede ve nasıl uygulandığına bağlıdır.

Eylemsizlik momentinin eksene bağlı olduğunu unutmak

Bir cisim için tek bir evrensel $I$ yoktur. Eylemsizlik momentini seçmeden ya da hesaplamadan önce ekseni belirtmelisiniz.

$L = I\omega$ ifadesini modeli kontrol etmeden kullanmak

Bu ifade yaygın sabit eksenli problemlerde temiz biçimde çalışır. Daha genel rijit cisim hareketlerinde açısal momentum her zaman açısal hızla paralel değildir.

Tork ve açısal momentumun yönünü göz ardı etmek

Bu niceliklerin yönü vardır. Birçok ders probleminde bu yön işaret konvansiyonu veya sağ el kuralıyla belirlenir; bu yüzden işareti çok erken atmak cevabı tersine çevirebilir.

Dönme Hareketi Nerelerde Karşımıza Çıkar?

Dönme hareketi tekerleklerde, türbinlerde, makaralarda, motorlarda, gezegenlerde, jiroskoplarda ve moleküllerde karşımıza çıkar. Mühendislikte ve fizikte, dönme, spin ya da yörüngeyle ilgili etkilerin önemli olduğu her yerde doğal dildir.

Ayrıca doğrusal mekanikle doğrudan bağlantılıdır. Aynı fikrin dönmeye ve doğrusal harekete ait karşılıklarını yan yana koyduğunuzda birçok dönme problemi daha kolay hâle gelir:

• kuvvet $\leftrightarrow$ tork
• kütle $\leftrightarrow$ eylemsizlik momenti
• momentum $\leftrightarrow$ açısal momentum

Benzer Bir Problem Deneyin

Aynı diski koruyun, ama kütle aynı kalırken yarıçapı iki katına çıkarın. $I$, $R^2$ ile değiştiği için eylemsizlik momenti büyür; dolayısıyla aynı tork daha küçük bir açısal ivme üretir.

Bu sürümü kendiniz deneyin: yeni $I$ değerini hesaplayın, sonra aynı $2.0\ \mathrm{s}$ sonunda yeni $\alpha$ ve yeni $L$ değerlerini bulun.