振動とは？単振動・減衰振動・強制振動

物理における振動とは、平衡位置のまわりで繰り返される運動、または繰り返される変化のことです。手早く理解したいなら、理想的な単振動、エネルギーを失う振動、外部の周期的な力で駆動される振動の3つに分けて考えるとよいです。

ばねにつながれた質点、小さい角度で揺れる振り子、交流回路は、いずれも振動します。素早く整理すると次のようになります。

• 単振動（SHM）は、復元作用が変位に比例する理想的な場合です。
• 減衰振動ではエネルギーが失われるため、振幅は時間とともに小さくなります。
• 強制振動では、外部からの周期的な入力が系を駆動し続けます。

駆動振動数が系の固有振動数に近いと、応答がずっと大きくなることがあります。この基本的な現象が共振です。

系が振動するのはなぜか？

振動する系には2つの要素があります。平衡位置と、そこからずれた系を元に戻そうとする復元作用です。系が平衡位置を通り過ぎて戻るとき、通常は慣性によって中心を行き過ぎるため、運動が繰り返されます。

ただし、繰り返し運動だからといって自動的に単振動になるわけではありません。単振動は、より限定された理想モデルで、次の条件を満たします。

$$F = -kx$$

これはばねの場合で、より一般には復元作用が変位に比例することを意味します。マイナス符号が重要なのは、力が平衡位置の向き、つまり元に戻る向きに働くことを示しているからです。

単振動：理想的な場合

理想的な単振動では、加速度は変位に比例し、向きは反対になります。

$$a = -\omega^2 x$$

この条件から、正弦波的な運動が導かれます。質量 $m$ の物体がばね定数 $k$ のばねにつながれているとき、

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

また、

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

となります。ここで $T$ は周期です。

直感的にはこう考えるとわかりやすいです。ばねが硬いほど強く引き戻すので、振動は速くなります。質量が大きいほど加速度がつきにくいので、振動は遅くなります。

減衰振動：なぜ振幅が小さくなるのか

現実の系はふつうエネルギーを失います。空気抵抗、摩擦、内部変形、電気抵抗は、いずれも減衰として働きます。

減衰が無視できないと、運動はしばらく振動を続けても、振幅は時間とともに小さくなります。もとの大きさの運動を保つだけのエネルギーを、系が得られていないからです。

減衰が小さい場合、運動はおおよそ周期的に見えます。減衰が大きい場合、系は何度も振動を繰り返す前に平衡位置へ戻ってしまうことがあります。

強制振動と共振

強制振動は、外部からの周期的な作用が系を押し続けるときに起こります。ブランコをこぐ子ども、交番信号で駆動されるスピーカーの振動板、繰り返しの地面の揺れで揺さぶられる建物は、いずれも例です。

重要なのは、駆動振動数が効いてくるという点です。固有振動数から大きく離れていれば、応答はそれほど大きくならないかもしれません。近ければ、振幅はずっと大きくなることがあります。

この大きな応答が現れる領域を共振と呼びます。より正確に言えば、減衰が小さいとき最も強い応答は固有振動数の近くで起こることが多く、正確なピークは減衰の大きさや、どの物理量を見ているかによって変わります。

計算例：1本のばねで3つの考え方を見る

質量 $0.50\ \mathrm{kg}$ の物体が、$k = 200\ \mathrm{N/m}$ の理想的なばねにつながれているとします。

まず角振動数を求めます。

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.50}} = \sqrt{400} = 20\ \mathrm{rad/s}$$

次に周期を求めます。

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} \approx 0.314\ \mathrm{s}$$

したがって、理想的な単振動モデルでは、この系は約 $0.314$ 秒で1回振動します。固有振動数は

$$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{20}{2\pi} \approx 3.18\ \mathrm{Hz}$$

であり、これは1秒あたり約 $3.18$ 回振動することを意味します。

では、同じ系で全体像を見てみましょう。

• 摩擦を無視して放すだけなら、運動は理想的な単振動です。
• 空気抵抗や内部摩擦があれば、振幅は徐々に小さくなるので、運動は減衰振動です。
• モーターや外力で周期的に押し続けるなら、運動は強制振動です。

その駆動力が約 $3.18\ \mathrm{Hz}$ に近い周期で繰り返され、しかも減衰が小さければ、応答は共振から離れた場合よりもずっと大きくなることがあります。

この1つの例だけでも、話題全体を整理できます。単振動は理想的な時間変化を表し、減衰は現実の運動がなぜ弱まるかを説明し、強制振動は外部入力がどのように振動を維持したり大きくしたりするかを説明します。

振動でよくある間違い

すべての振動を単振動と呼んでしまう

単なる往復運動だけでは不十分です。単振動には、復元作用が変位に比例することが必要です。

減衰は振幅だけを変えると思ってしまう

減衰が小さいと、見た目で最もわかりやすい変化は振幅の減少です。しかし、減衰は運動の細かな性質そのものも変えます。単なる見かけの効果ではありません。

強制振動はいつも際限なく大きくなると思ってしまう

現実の系にはふつう減衰があり、それが定常応答の大きさを制限します。この点を押さえないと、共振を誤解しやすくなります。

共振はどんな場合でも固有振動数と完全に一致すると言ってしまう

それでは少し大ざっぱすぎます。入門物理では、モデルや測定している量が明示されていない限り、「固有振動数の近く」と言うほうが安全です。

物理のどこに振動が現れるか

振動のモデルは、力学系、音と振動、電気回路、分子運動、時計、センサー、構造工学などに現れます。多くの実在の系が、繰り返し、エネルギーを蓄え、エネルギーを失い、繰り返しの駆動に強く応答するからです。

そのため、同じ考え方がまったく異なる場面に現れます。自動車のサスペンション、振り子時計、ギターの弦、RLC回路は、いずれも固有振動数、減衰、駆動という共通の言葉で説明できます。

類題に挑戦してみよう

同じばねで、質量を2倍の $1.0\ \mathrm{kg}$ にしてみましょう。$T$ と固有振動数をもう一度計算し、もとの値と比べてください。そのあと、新しい固有振動数の近くで周期的な駆動力が加わるとどうなるかを考えてみましょう。さらに進みたいなら、同じ問いを振り子や RLC 回路でも解いてみてください。