電場

電場とは、空間中のある点で小さな正の試験電荷が受ける力を表すものです。電場がわかれば、押す力や引く力の大きさだけでなく、その向きもわかります。

定義は

$$E = \frac{F}{q}$$

です。ここで $F$ は試験電荷に働く電気力、$q$ はその試験電荷そのものです。重要なのは、電場は電荷源のまわりの空間に属する量だということです。試験電荷は、その場所で電場がどうなっているかを示してくれるだけです。

真空中にある点電荷 $Q$ による、距離 $r$ の位置での電場の大きさは

$$E = k \frac{|Q|}{r^2}$$

です。ここで $k \approx 8.99 \times 10^9\ \mathrm{N \cdot m^2/C^2}$ です。向きは、電荷源が正なら外向き、負ならその電荷に向かいます。

電場をやさしく言うと

電場を使うと、新しい電荷ごとに毎回力を一から考え直さなくても、電気的な影響を表せます。ある点での電場がわかれば、そこに置いたどんな電荷にどんな力が働くかを予測できます。

その点に置く電荷が $q$ なら、

$$\vec{F} = q\vec{E}$$

となります。つまり、同じ電場なら電荷が大きいほど受ける力も大きくなります。負の電荷は、電場の向きと反対向きの力を受けます。

電場の公式 $E = k|Q|/r^2$ が使えるとき

公式

$$E = k \frac{|Q|}{r^2}$$

は、真空中の点電荷に対して正確に成り立ちます。また、球対称な電荷分布の外側の点でも使えます。この場合、その電荷分布は、すべての電荷が中心に集まっているかのように振る舞います。

電荷分布が広がっていて、しかも球対称でない場合は、1つの公式にそのまま代入するだけでは通常不十分です。その場合は、たくさんの小さな電荷部分からの寄与を足し合わせて電場を求めます。

例題：電場を求めてから力を求める

点電荷 $Q = +2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$ が電場を作っているとします。そこから $0.50\ \mathrm{m}$ 離れた点での電場を求め、さらにその場所に置いた試験電荷 $q = +3.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}$ に働く力を求めます。

ステップ1：電場の大きさを求めます。

$$E = k \frac{|Q|}{r^2}$$ $$E = (8.99 \times 10^9)\frac{2.0 \times 10^{-6}}{(0.50)^2}$$ $$E = (8.99 \times 10^9)\frac{2.0 \times 10^{-6}}{0.25} \approx 7.19 \times 10^4\ \mathrm{N/C}$$

電荷源は正なので、電場の向きは電荷源から外向きです。

ステップ2：その電場を使って試験電荷に働く力を求めます。

$$F = (3.0 \times 10^{-9})(7.19 \times 10^4) \approx 2.16 \times 10^{-4}\ \mathrm{N}$$

試験電荷も正なので、力の向きは電場と同じで、電荷源から外向きです。もし試験電荷が負なら、電場は同じままですが、力の向きは逆になります。

電場でよくあるミス

• 電荷源 $Q$ と試験電荷 $q$ を混同する。
• $E = F/q$ は電場の定義であり、$F = qE$ は特定の電荷に働く力を与える式だという点を忘れる。
• 点電荷や球対称な分布としてうまく近似できない状況で、逆二乗の公式を使ってしまう。
• 向きを落としてしまう。電場はただの数ではなくベクトルです。
• 負の試験電荷には、電場の向きと反対向きの力が働くことを忘れる。

電場はどこで使うのか

電場は静電気学の中心となる考え方の1つです。点電荷、帯電した球、コンデンサー、荷電粒子の運動を扱う問題で登場します。

また、クーロンの法則と、その先に学ぶ電位やガウスの法則をつなぐ橋渡しにもなります。電場がはっきり理解できると、電磁気学の入門内容全体が整理しやすくなります。

似た問題に挑戦してみよう

例題のうち1つだけ変えてみましょう。試験電荷を正ではなく負にします。その位置での電場は変わりませんが、力の向きは変わります。電荷や距離を変えた自分なりの問題も試して、計算で大きさを出す前に向きを予想できるか確かめてみてください。