量子力学 — 波動粒子二重性とシュレーディンガー方程式

量子力学の基礎は、まず考え方を一つ切り替えるところから始まります。ミクロな系は、純粋に古典的な粒子としても、純粋に古典的な波としても振る舞いません。波動粒子二重性は、なぜ電子が干渉縞を作れるのに、それでも一点で検出されるのかを説明し、シュレーディンガー方程式はその量子状態がどう変化するかを予測するための主要な非相対論的方程式です。

初学者向けの多くの問題では、実際には次のように考えれば十分です。波動関数 $\psi$ を用い、系の条件のもとでその振る舞いを計算し、規格化したあとで $|\psi|^2$ を確率密度として解釈します。

波動粒子二重性は古典的な見方だけでは不十分だと示す

波動粒子二重性とは、小さな物体があるときは古典的な小球で、別のときは水面波になる、という意味ではありません。そうではなく、ミクロな系を表すには古典的な分類そのものが不十分だということです。

二重スリット実験では、電子線が干渉縞を作ることがあり、これは波らしい振る舞いです。けれども、個々の検出はスクリーン上の局所的な一点で起こり、これは粒子的な振る舞いです。同じ実験が、「二重性」という言葉が使われる理由を示しています。ひとつの設定の中で、両方の特徴が現れるからです。

物質波については、ド・ブロイ波長の関係式が便利です。

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

ここで $p$ は運動量、$h$ はプランク定数です。運動量が大きいほど、波長は短くなります。

シュレーディンガー方程式は状態がどう変化するかを与える

波動粒子二重性は直感を与えます。シュレーディンガー方程式は実際に計算するためのルールを与えます。

1個の非相対論的粒子に対して、時間依存シュレーディンガー方程式は通常次のように書かれます。

$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V \right)\psi$$

ここで $m$ は粒子の質量、$V$ はポテンシャルエネルギーです。この方程式は、ひとつの古典的な軌道を予測するわけではありません。波動関数がどう変化するかを予測し、その波動関数から測定結果の確率を計算します。

ポテンシャルが時間に依存せず、定常状態を求めたいときには、時間に依存しない形をよく使います。1次元では、

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi$$

となります。これは時間依存方程式とは別の法則ではなく、その特別な場合です。この条件が成り立つときにだけ使います。

ここで一つ注意が必要です。シュレーディンガー方程式は、非相対論的量子力学の標準的な出発点であり、特に電子のような質量をもつ粒子の単純なモデルでよく使われます。ただし、波動粒子二重性はこの方程式だけよりも広い概念なので、シュレーディンガー方程式をあらゆる量子系の完全理論だと考えてはいけません。

計算例：1次元箱の中の粒子

$x=0$ と $x=L$ の剛体壁の間に閉じ込められた、理想化された非相対論的粒子を考えます。箱の内部では $V(x)=0$ とし、箱の外には粒子は存在できないとします。このとき波動関数は

$$\psi(0) = 0, \qquad \psi(L) = 0$$

を満たさなければなりません。

これらの境界条件は、箱の中に定在波しか入れないことを意味します。したがって、許される波長は

$$\lambda_n = \frac{2L}{n}, \qquad n = 1,2,3,\dots$$

です。

ド・ブロイの関係式を使うと、許される運動量は

$$p_n = \frac{h}{\lambda_n} = \frac{nh}{2L}$$

となり、この領域での非相対論的粒子の許されるエネルギーは

$$E_n = \frac{p_n^2}{2m} = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}$$

です。

時間に依存しないシュレーディンガー方程式を、同じ境界条件のもとで解いても同じ結果が得られます。ここが重要なつながりです。このモデルでは、波としての見方と方程式の両方が、粒子は任意のエネルギーをとれないことを示しています。

最も低い許容状態は $n=1$ なので、エネルギーはゼロではありません。このモデルでは、境界条件によって定在波が強制され、最も単純な定在波でさえ曲率をもつため、エネルギーはゼロになりません。

箱の幅を $2L$ にすると、$E_n \propto 1/L^2$ なので、すべての許されるエネルギーは4分の1になります。これは、閉じ込めの強さが量子系をどう変えるかを見るためのわかりやすい方法です。

量子力学の基礎でよくある間違い

• 量子の対象を、ある瞬間には古典的な波、別の瞬間には古典的な粒子として扱ってしまうこと。重要なのは、どちらの古典的な描像だけでも十分ではないという点です。
• $\psi$ を確率そのものだと読んでしまうこと。標準的な波動関数の描像では、確率密度は規格化後の $|\psi|^2$ です。
• ポテンシャルが時間とともに変化する状況で、時間に依存しないシュレーディンガー方程式を使ってしまうこと。
• エネルギーはいつも同じ形で量子化されると思い込むこと。離散的なエネルギー準位には、通常、閉じ込めや束縛状態のような条件が必要です。

波動粒子二重性とシュレーディンガー方程式はどこで使われるか

波動粒子二重性とシュレーディンガー方程式は、原子物理、化学結合、トンネル効果、半導体モデル、量子井戸などで中心的な道具になります。特に、閉じ込め、干渉、離散的なエネルギー準位が重要なときに有用です。

日常的な大きさの物体では、古典力学は通常きわめてよい近似です。一方、非常に高速な場合や、完全に相対論的な量子問題では、シュレーディンガー方程式だけでは完全なモデルになりません。

似た量子力学の問題に挑戦してみよう

同じ箱のモデルのままで、幅を $L$ から $3L$ に変えてみてください。計算を始める前に、$E_1$ がどうなるか予想してみましょう。理解を確かめたいなら、箱が広くなったり狭くなったりしたときに、エネルギー準位全体がどう変わるかを自分で考えてみるのもよい練習です。