対数をわかりやすく解説

対数は、ある数を別の数にするには何乗すればよいかを表します。たとえば、$\log_2(8) = 3$ なのは、$2^3 = 8$ だからです。

一般に、

$$\log_b(x) = y$$

ならば、

$$b^y = x$$

となります。考え方はこれだけです。対数は指数計算の逆です。

実数の対数では、条件が重要です。底は $b > 0$ かつ $b \ne 1$ を満たし、真数は $x > 0$ を満たさなければなりません。

対数の意味

$\log_b(x)$ は、「$b$ を何乗すると $x$ になるか」と読みます。この言い換えのほうが、記号そのものより覚えやすいことがよくあります。

たとえば、

$$\log_{10}(100) = 2$$

です。なぜなら、

$$10^2 = 100$$

だからです。パターンはいつも同じです。記号が抽象的に感じたら、まず指数の式に書き換えてみましょう。

対数が役に立つ理由

指数は、繰り返しの掛け算や急速な増加を表します。対数はその考え方を逆向きにたどるものです。

そのため、結果はわかっているのに指数がわからないときに役立ちます。また、掛け算的な変化を足し算的な変化に変えられるので、成長モデル、音の大きさ、酸性度の尺度、アルゴリズムなどで使われます。

例題：対数が負になるのはなぜか

次を求めます。

$$\log_2\left(\frac{1}{8}\right)$$

これを指数の形に書き換えると、

$$2^y = \frac{1}{8}$$

となります。では、$2$ を何乗すると $\frac{1}{8}$ になるでしょうか。実際、

$$2^{-3} = \frac{1}{8}$$

なので、答えは

$$\log_2\left(\frac{1}{8}\right) = -3$$

です。これで、よくある混乱が解消されます。対数は、入力が正でなければならなくても、出力は負になることがあります。

対数でよくある間違い

1. 入力と出力を取り違えること。$\log_b(x) = y$ では、入力は $x$ で、結果は指数 $y$ です。
2. 定義域を忘れること。実数の対数では、$\log_b(x)$ は $x > 0$ のときにしか定義されません。
3. 対数が負なら入力も負だと思うこと。そうではありません。必要な指数が負だという意味です。
4. 底を無視すること。$\log_2(8) = 3$ ですが、$\log_{10}(8)$ は $3$ ではありません。
5. 記号を普通の割り算のように読むこと。$\log_b(x)$ は、指数の関係 $b^y = x$ によって定義されます。恒等式 $\log_b(x) = \frac{\log(x)}{\log(b)}$ は、別の底の変換公式です。

対数が使われる場面

次のようなときに対数が出てきます。

1. 指数方程式を解くとき
2. デシベルや pH のように、幅広い尺度にまたがる量を測るとき
3. 成長、減衰、倍加時間を分析するとき
4. 代数、微積分、統計、計算機科学の式を簡単にするとき

すべての対数を指数に直す

記号が抽象的に感じたら、すぐに次の形に直しましょう。

$$\log_b(x) = y \iff b^y = x$$

この1つの書き換えで、初学者の混乱の多くは解消できます。

自分でもやってみよう

$3^4 = 81$ のような指数の式を1つ取り、それを対数の形に書き換えてみましょう。次に、$\log_{10}(0.01)$ のような式で逆の作業をして、どの指数なら式が成り立つか確かめてみてください。