Séries entières — rayon de convergence et exemples

Une série entière est une somme infinie construite à partir des puissances de $(x-c)$ :

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n$$

Ici, $c$ est le centre et les nombres $a_n$ sont des constantes appelées coefficients. Dans la plupart des exercices, la vraie question est simple : pour quelles valeurs de $x$ cette série converge-t-elle ?

La réponse s’organise autour du rayon de convergence $R$. Une série entière converge lorsque $|x-c| < R$, diverge lorsque $|x-c| > R$, et nécessite une étude séparée des extrémités lorsque $|x-c| = R$.

Ce que signifie le rayon de convergence

Le rayon de convergence est une distance à partir du centre, pas un ensemble de valeurs de $x$. Si une série entière est centrée en $c$, alors :

• elle converge lorsque $|x-c| < R$,
• elle diverge lorsque $|x-c| > R$,
• le cas limite $|x-c| = R$ doit être étudié séparément.

Pour les problèmes à variable réelle, cette distance devient un intervalle de convergence. Si le centre est $c$ et le rayon est $R$, la partie intérieure est

$$(c-R,\; c+R),$$

mais les extrémités peuvent ou non être incluses dans la réponse finale.

Pourquoi les séries entières sont importantes

Les séries entières sont importantes parce qu’elles permettent de traiter des fonctions compliquées comme de très longs polynômes. À l’intérieur de l’intervalle de convergence, elles sont souvent plus faciles à dériver, à intégrer et à approcher.

Ce raccourci s’accompagne d’une condition : ces opérations terme à terme sont justifiées à l’intérieur de l’intervalle de convergence, pas automatiquement partout.

Exemple de série entière : trouver le rayon et l’intervalle

Considérons

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{3^n}.$$

C’est une série entière centrée en $c=2$. Pour trouver le rayon de convergence, appliquons le critère de d’Alembert à

$$a_n = \frac{(x-2)^n}{3^n}.$$

Calculons

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{(x-2)^{n+1}}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{(x-2)^n}\right| = \frac{|x-2|}{3}.$$

Le critère de d’Alembert donne la convergence lorsque

$$\frac{|x-2|}{3} < 1,$$

donc

$$|x-2| < 3.$$

Ainsi, le rayon de convergence est

$$R = 3.$$

Cela donne l’intervalle intérieur $(-1,5)$. Testons maintenant les extrémités une par une.

Pour $x=5$, la série devient

$$\sum_{n=0}^{\infty} 1,$$

qui diverge.

Pour $x=-1$, la série devient

$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n,$$

qui diverge aussi, car ses termes alternent entre $1$ et $-1$ au lieu de tendre vers $0$.

Donc l’intervalle de convergence final est

$$(-1,5).$$

C’est toute la méthode en un seul exemple : identifier le centre, trouver $R$, écrire l’intervalle intérieur, puis tester séparément les deux extrémités.

Erreurs fréquentes sur le rayon de convergence

Confondre rayon et intervalle

Le rayon est un nombre, par exemple $R=3$. L’intervalle est l’ensemble des valeurs réelles de $x$, par exemple $(-1,5)$. Ils sont liés, mais ce ne sont pas le même objet.

Oublier le centre $c$

Dans $\sum a_n (x-c)^n$, le centre est $c$, et pas toujours $0$. Si la série utilise $(x-2)^n$, le test de distance repose sur $|x-2|$, et non sur $|x|$.

Oublier de tester les extrémités

Le critère de d’Alembert et le critère de la racine indiquent généralement ce qui se passe à l’intérieur et à l’extérieur, mais ils ne disent souvent rien aux extrémités. Il faut donc encore les vérifier une par une.

Supposer que les deux extrémités se comportent de la même façon

Même si le rayon est le même des deux côtés, une extrémité peut converger tandis que l’autre diverge. Le comportement aux extrémités dépend de la série obtenue après substitution.

Quand utilise-t-on les séries entières ?

Les séries entières apparaissent en calcul différentiel et intégral, en équations différentielles et en approximation. Elles sont utiles lorsqu’une fonction est difficile à manipuler directement, mais plus facile à étudier près d’un point grâce à son développement en série.

Les séries de Taylor et de Maclaurin en sont des exemples importants. Ce sont des séries entières conçues pour représenter localement une fonction, lorsque les conditions nécessaires sont réunies.

Essayez une série entière similaire

Essayez votre propre version avec

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+1)^n}{2^n}.$$

Trouvez le centre, déterminez le rayon, puis testez les extrémités. Si vous voulez un autre cas proche ensuite, étudiez une série de Taylor et remarquez comment les mêmes idées de convergence réapparaissent.