멱급수 — 수렴반경과 예제

멱급수는 $(x-c)$의 거듭제곱으로 이루어진 무한합입니다:

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n$$

여기서 $c$는 중심이고, $a_n$은 계수라고 하는 상수들입니다. 대부분의 문제에서 핵심 질문은 간단합니다. 이 급수는 어떤 $x$값에서 수렴할까요?

그 답은 수렴반경 $R$로 정리됩니다. 멱급수는 $|x-c| < R$일 때 수렴하고, $|x-c| > R$일 때 발산하며, $|x-c| = R$일 때는 끝점을 따로 확인해야 합니다.

수렴반경의 의미

수렴반경은 $x$값들의 집합이 아니라 중심으로부터의 거리입니다. 멱급수의 중심이 $c$라면 다음이 성립합니다.

• $|x-c| < R$이면 수렴합니다.
• $|x-c| > R$이면 발산합니다.
• 경계인 $|x-c| = R$은 따로 판정해야 합니다.

실변수 문제에서는 이 거리가 수렴구간으로 바뀝니다. 중심이 $c$이고 반경이 $R$이면 내부 구간은

$$(c-R,\; c+R),$$

이지만 끝점이 최종 답에 포함되는지는 따로 확인해야 합니다.

왜 멱급수가 중요한가

멱급수는 복잡한 함수를 아주 긴 다항식처럼 다룰 수 있게 해 주기 때문에 중요합니다. 수렴구간 안에서는 미분, 적분, 근사가 더 쉬운 경우가 많습니다.

하지만 이런 편리함에는 조건이 있습니다. 항별 미분이나 항별 적분은 수렴구간 안에서 정당화되며, 모든 곳에서 자동으로 가능한 것은 아닙니다.

멱급수 예제: 수렴반경과 수렴구간 구하기

다음을 생각해 봅시다.

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{3^n}.$$

이것은 중심이 $c=2$인 멱급수입니다. 수렴반경을 구하려면 다음에 비율판정법을 적용합니다.

$$a_n = \frac{(x-2)^n}{3^n}.$$

계산하면

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{(x-2)^{n+1}}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{(x-2)^n}\right| = \frac{|x-2|}{3}.$$

비율판정법에 따르면

$$\frac{|x-2|}{3} < 1,$$

일 때 수렴하므로,

$$|x-2| < 3.$$

따라서 수렴반경은

$$R = 3.$$

그러면 내부 구간은 $(-1,5)$입니다. 이제 끝점을 하나씩 확인합니다.

$x=5$일 때 급수는

$$\sum_{n=0}^{\infty} 1,$$

이 되어 발산합니다.

$x=-1$일 때 급수는

$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n,$$

이 됩니다. 이 급수도 항이 $0$으로 가지 않고 $1$과 $-1$ 사이를 번갈아 가므로 발산합니다.

따라서 최종 수렴구간은

$$(-1,5).$$

이 예제 하나에 전체 과정이 모두 들어 있습니다. 중심을 찾고, $R$을 구하고, 내부 구간을 쓴 다음, 양쪽 끝점을 각각 따로 판정합니다.

수렴반경에서 자주 하는 실수

수렴반경과 수렴구간을 혼동하기

수렴반경은 $R=3$ 같은 하나의 수입니다. 수렴구간은 $(-1,5)$처럼 실수 $x$값들의 집합입니다. 서로 관련은 있지만 같은 대상은 아닙니다.

중심 $c$를 잊기

$\sum a_n (x-c)^n$에서 중심은 항상 $0$이 아니라 $c$입니다. 급수에 $(x-2)^n$이 있으면 거리 판정은 $|x|$가 아니라 $|x-2|$를 기준으로 해야 합니다.

끝점 판정을 건너뛰기

비율판정법과 근판정법은 보통 내부와 외부에서의 거동은 알려 주지만, 끝점에서는 아무 말도 해 주지 않는 경우가 많습니다. 그래서 끝점은 여전히 하나씩 직접 확인해야 합니다.

양쪽 끝점의 거동이 같다고 가정하기

양쪽의 반경이 같더라도 한쪽 끝점에서는 수렴하고 다른 쪽 끝점에서는 발산할 수 있습니다. 끝점에서의 거동은 대입 후 얻어지는 급수에 따라 달라집니다.

멱급수는 언제 쓰이나

멱급수는 미적분, 미분방정식, 근사에서 자주 등장합니다. 함수를 직접 다루기 어렵지만 어떤 한 점 근처에서는 급수 전개를 통해 더 쉽게 분석할 수 있을 때 유용합니다.

테일러급수와 맥클로린급수는 중요한 예입니다. 필요한 조건이 만족되면, 이들은 함수를 국소적으로 나타내도록 만든 멱급수입니다.

비슷한 멱급수를 직접 풀어 보기

다음 급수로 직접 연습해 보세요.

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+1)^n}{2^n}.$$

중심을 찾고, 수렴반경을 구한 뒤, 끝점을 판정해 보세요. 그다음 비슷한 사례를 하나 더 보고 싶다면 테일러급수를 살펴보면서 같은 수렴 아이디어가 다시 나타나는 것을 확인해 보세요.