อนุกรมกำลัง — รัศมีการลู่เข้าและตัวอย่าง

อนุกรมกำลังคือผลบวกอนันต์ที่สร้างจากกำลังของ $(x-c)$:

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n$$

ในที่นี้ $c$ คือจุดศูนย์กลาง และจำนวน $a_n$ เป็นค่าคงที่ที่เรียกว่า สัมประสิทธิ์ ในโจทย์ส่วนใหญ่ คำถามสำคัญมีเพียงว่า อนุกรมนี้ลู่เข้าสำหรับค่า $x$ ใดบ้าง

คำตอบจะจัดระเบียบด้วยรัศมีการลู่เข้า $R$ อนุกรมกำลังจะลู่เข้าเมื่อ $|x-c| < R$ จะไม่ลู่เข้าเมื่อ $|x-c| > R$ และต้องตรวจปลายช่วงแยกต่างหากเมื่อ $|x-c| = R$

รัศมีการลู่เข้าหมายถึงอะไร

รัศมีการลู่เข้าเป็นระยะจากจุดศูนย์กลาง ไม่ใช่เซตของค่า $x$ ถ้าอนุกรมกำลังมีจุดศูนย์กลางที่ $c$ แล้ว:

• อนุกรมลู่เข้าเมื่อ $|x-c| < R$
• อนุกรมไม่ลู่เข้าเมื่อ $|x-c| > R$
• กรณีขอบเขต $|x-c| = R$ ต้องทดสอบแยกต่างหาก

สำหรับโจทย์ตัวแปรจริง ระยะนี้จะกลายเป็นช่วงการลู่เข้า ถ้าจุดศูนย์กลางคือ $c$ และรัศมีคือ $R$ ส่วนด้านในช่วงคือ

$$(c-R,\; c+R),$$

แต่ปลายช่วงอาจถูกรวมหรือไม่ถูกรวมในคำตอบสุดท้ายก็ได้

ทำไมอนุกรมกำลังจึงสำคัญ

อนุกรมกำลังสำคัญเพราะช่วยให้เราจัดการฟังก์ชันที่ซับซ้อนได้เหมือนเป็นพหุนามยาวมาก ๆ ภายในช่วงที่ลู่เข้า มักจะหาอนุพันธ์ อินทิเกรต และประมาณค่าได้ง่ายกว่า

แต่ทางลัดนี้มีเงื่อนไข คือการดำเนินการทีละพจน์เหล่านั้นจะใช้ได้ภายในช่วงการลู่เข้าเท่านั้น ไม่ได้ใช้ได้ทุกที่โดยอัตโนมัติ

ตัวอย่างอนุกรมกำลัง: หารัศมีและช่วงการลู่เข้า

พิจารณา

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{3^n}.$$

นี่คืออนุกรมกำลังที่มีจุดศูนย์กลางที่ $c=2$ ในการหารัศมีการลู่เข้า ให้ใช้ ratio test กับ

$$a_n = \frac{(x-2)^n}{3^n}.$$

คำนวณได้ว่า

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{(x-2)^{n+1}}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{(x-2)^n}\right| = \frac{|x-2|}{3}.$$

ratio test บอกว่าอนุกรมลู่เข้าเมื่อ

$$\frac{|x-2|}{3} < 1,$$

ดังนั้น

$$|x-2| < 3.$$

จึงได้ว่ารัศมีการลู่เข้าคือ

$$R = 3.$$

ทำให้ได้ช่วงด้านในเป็น $(-1,5)$ ตอนนี้ให้ตรวจปลายช่วงทีละด้าน

เมื่อ $x=5$ อนุกรมจะกลายเป็น

$$\sum_{n=0}^{\infty} 1,$$

ซึ่งไม่ลู่เข้า

เมื่อ $x=-1$ อนุกรมจะกลายเป็น

$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n,$$

ซึ่งก็ไม่ลู่เข้าเช่นกัน เพราะพจน์ของมันสลับระหว่าง $1$ และ $-1$ แทนที่จะเข้าใกล้ $0$

ดังนั้นช่วงการลู่เข้าขั้นสุดท้ายคือ

$$(-1,5).$$

นี่คือกระบวนการครบถ้วนในตัวอย่างเดียว: หา จุดศูนย์กลาง หา $R$ เขียนช่วงด้านใน แล้วตรวจปลายช่วงทั้งสองด้านแยกกัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับรัศมีการลู่เข้า

สับสนระหว่างรัศมีกับช่วง

รัศมีเป็นตัวเลข เช่น $R=3$ ส่วนช่วงคือเซตของค่า $x$ จริง เช่น $(-1,5)$ ทั้งสองอย่างเกี่ยวข้องกัน แต่ไม่ใช่สิ่งเดียวกัน

ลืมจุดศูนย์กลาง $c$

ใน $\sum a_n (x-c)^n$ จุดศูนย์กลางคือ $c$ ไม่ได้เป็น $0$ เสมอไป ถ้าอนุกรมอยู่ในรูป $(x-2)^n$ การทดสอบระยะต้องอิงกับ $|x-2|$ ไม่ใช่ $|x|$

ข้ามการตรวจปลายช่วง

ratio test และ root test มักบอกได้ว่าเกิดอะไรขึ้นภายในช่วงและภายนอกช่วง แต่บ่อยครั้งจะไม่บอกอะไรเลยที่ปลายช่วง คุณยังต้องตรวจทีละด้านอยู่ดี

คิดว่าปลายช่วงทั้งสองด้านต้องมีพฤติกรรมเหมือนกัน

แม้ว่ารัศมีจะเท่ากันทั้งสองด้าน แต่ปลายช่วงด้านหนึ่งอาจลู่เข้า ขณะที่อีกด้านหนึ่งไม่ลู่เข้าก็ได้ พฤติกรรมที่ปลายช่วงขึ้นอยู่กับอนุกรมที่ได้หลังแทนค่า

อนุกรมกำลังถูกใช้เมื่อใด

อนุกรมกำลังปรากฏในแคลคูลัส สมการเชิงอนุพันธ์ และการประมาณค่า มีประโยชน์เมื่อฟังก์ชันจัดการโดยตรงได้ยาก แต่ศึกษาง่ายขึ้นใกล้จุดหนึ่งผ่านการขยายเป็นอนุกรม

อนุกรมเทย์เลอร์และอนุกรมแมคโลรินเป็นตัวอย่างสำคัญ ทั้งสองเป็นอนุกรมกำลังที่ออกแบบมาเพื่อแทนฟังก์ชันในบริเวณใกล้จุดหนึ่ง เมื่อเงื่อนไขที่จำเป็นเป็นจริง

ลองทำอนุกรมกำลังที่คล้ายกัน

ลองทำด้วยตัวเองจาก

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+1)^n}{2^n}.$$

หาจุดศูนย์กลาง แก้หารัศมี แล้วตรวจปลายช่วง ถ้าต้องการลองกรณีใกล้เคียงอีกหนึ่งข้อหลังจากนั้น ให้ไปดูอนุกรมเทย์เลอร์ แล้วสังเกตว่าแนวคิดเรื่องการลู่เข้าแบบเดียวกันยังปรากฏอีกครั้ง