べき級数 — 収束半径と例

べき級数とは、$(x-c)$ のべきから作られる無限和のことです。

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n$$

ここで、$c$ は中心、$a_n$ は係数と呼ばれる定数です。多くの問題で本当に知りたいのは単純で、この級数がどの $x$ の値で収束するかということです。

その答えは収束半径 $R$ によって整理されます。べき級数は $|x-c| < R$ のとき収束し、$|x-c| > R$ のとき発散し、$|x-c| = R$ のときは端点を個別に調べる必要があります。

収束半径の意味

収束半径は、$x$ の値の集合ではなく、中心からの距離です。べき級数の中心が $c$ のとき、次が成り立ちます。

• $|x-c| < R$ のとき収束する
• $|x-c| > R$ のとき発散する
• 境界の場合 $|x-c| = R$ は別に調べる必要がある

実変数の問題では、この距離は収束区間として表されます。中心が $c$、半径が $R$ なら、内部の部分は

$$(c-R,\; c+R),$$

ですが、端点が最終的な答えに含まれるかどうかは別途確認が必要です。

べき級数が重要な理由

べき級数が重要なのは、複雑な関数を非常に長い多項式のように扱えるからです。収束区間の内側では、微分・積分・近似がしばしばより簡単になります。

ただし、この便利さには条件があります。項別の操作が正当化されるのは収束区間の内側であって、自動的にどこでも成り立つわけではありません。

べき級数の例：収束半径と収束区間を求める

次を考えます。

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{3^n}.$$

これは中心 $c=2$ のべき級数です。収束半径を求めるために、

$$a_n = \frac{(x-2)^n}{3^n}.$$

に比の判定法を適用します。

計算すると、

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{(x-2)^{n+1}}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{(x-2)^n}\right| = \frac{|x-2|}{3}.$$

比の判定法より、収束するのは

$$\frac{|x-2|}{3} < 1,$$

すなわち

$$|x-2| < 3.$$

したがって、収束半径は

$$R = 3.$$

です。これより内部の区間は $(-1,5)$ になります。次に、端点を 1 つずつ調べます。

$x=5$ のとき、級数は

$$\sum_{n=0}^{\infty} 1,$$

となり、発散します。

$x=-1$ のとき、級数は

$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n,$$

となります。これは各項が $0$ に近づかず、$1$ と $-1$ の間を交互に行き来するので、やはり発散します。

したがって、最終的な収束区間は

$$(-1,5).$$

です。

この 1 つの例に、全体の流れがすべて入っています。中心を確認し、$R$ を求め、内部の区間を書き、最後に両方の端点を個別に調べます。

収束半径でよくある間違い

収束半径と収束区間を混同する

収束半径は $R=3$ のような 1 つの数です。収束区間は $(-1,5)$ のような実数 $x$ の集合です。両者は関係していますが、同じものではありません。

中心 $c$ を忘れる

$\sum a_n (x-c)^n$ では、中心は $c$ であり、常に $0$ とは限りません。級数が $(x-2)^n$ を使っているなら、距離の判定は $|x-2|$ に基づき、$|x|$ ではありません。

端点の確認を省く

比の判定法や根の判定法は、通常、内部と外部で何が起こるかを教えてくれますが、端点では何も言えないことがよくあります。そのため、端点は 1 つずつ確認しなければなりません。

両端点が同じ振る舞いをすると決めつける

半径が左右で同じでも、一方の端点では収束し、もう一方では発散することがあります。端点での振る舞いは、代入後に得られる級数によって決まります。

べき級数が使われる場面

べき級数は、微積分、微分方程式、近似で現れます。関数をそのまま扱うのは難しくても、ある 1 点の近くで級数展開として見ると調べやすくなる場合に役立ちます。

テイラー級数やマクローリン級数は重要な例です。必要な条件が満たされるとき、関数を局所的に表すためのべき級数になっています。

似たべき級数を試してみる

次の級数で自分でも試してみましょう。

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+1)^n}{2^n}.$$

中心を求め、収束半径を解き、その後で端点を調べてください。さらに近い例をもう 1 つ見たいなら、テイラー級数も調べてみると、同じ収束の考え方が再び現れることに気づくはずです。