Potenzreihen — Konvergenzradius & Beispiele

Eine Potenzreihe ist eine unendliche Summe, die aus Potenzen von $(x-c)$ aufgebaut ist:

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n$$

Hier ist $c$ das Zentrum und die Zahlen $a_n$ sind Konstanten, die Koeffizienten genannt werden. In den meisten Aufgaben ist die eigentliche Frage einfach: Für welche Werte von $x$ konvergiert diese Reihe?

Die Antwort wird durch den Konvergenzradius $R$ geordnet. Eine Potenzreihe konvergiert, wenn $|x-c| < R$, divergiert, wenn $|x-c| > R$, und erfordert eine separate Prüfung der Randpunkte, wenn $|x-c| = R$.

Was der Konvergenzradius bedeutet

Der Konvergenzradius ist ein Abstand vom Zentrum, keine Menge von $x$-Werten. Wenn eine Potenzreihe um $c$ zentriert ist, dann gilt:

• sie konvergiert, wenn $|x-c| < R$,
• sie divergiert, wenn $|x-c| > R$,
• der Randfall $|x-c| = R$ muss separat geprüft werden.

Bei Problemen mit reellen Variablen wird aus diesem Abstand ein Konvergenzintervall. Wenn das Zentrum $c$ und der Radius $R$ sind, dann ist der innere Teil

$$(c-R,\; c+R),$$

aber die Randpunkte können in der endgültigen Antwort enthalten sein oder nicht.

Warum Potenzreihen wichtig sind

Potenzreihen sind wichtig, weil man mit ihnen komplizierte Funktionen wie sehr lange Polynome behandeln kann. Innerhalb des Konvergenzintervalls lassen sie sich oft leichter ableiten, integrieren und approximieren.

Diese Abkürzung hat aber eine Bedingung: Solche gliedweisen Operationen sind innerhalb des Konvergenzintervalls gerechtfertigt, nicht automatisch überall.

Beispiel zu Potenzreihen: Radius und Intervall bestimmen

Betrachte

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{3^n}.$$

Das ist eine Potenzreihe mit Zentrum $c=2$. Um den Konvergenzradius zu finden, wende das Quotientenkriterium auf

$$a_n = \frac{(x-2)^n}{3^n}.$$

an.

Berechne

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{(x-2)^{n+1}}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{(x-2)^n}\right| = \frac{|x-2|}{3}.$$

Das Quotientenkriterium liefert Konvergenz, wenn

$$\frac{|x-2|}{3} < 1,$$

also

$$|x-2| < 3.$$

Damit ist der Konvergenzradius

$$R = 3.$$

Das ergibt das innere Intervall $(-1,5)$. Nun prüfe die Randpunkte nacheinander.

Für $x=5$ wird die Reihe zu

$$\sum_{n=0}^{\infty} 1,$$

und diese divergiert.

Für $x=-1$ wird die Reihe zu

$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n,$$

und auch diese divergiert, weil ihre Glieder zwischen $1$ und $-1$ wechseln, statt gegen $0$ zu gehen.

Also ist das endgültige Konvergenzintervall

$$(-1,5).$$

Das ist der vollständige Ablauf in einem Beispiel: Bestimme das Zentrum, finde $R$, schreibe das innere Intervall auf und prüfe dann beide Randpunkte separat.

Häufige Fehler beim Konvergenzradius

Radius und Intervall verwechseln

Der Radius ist eine Zahl wie $R=3$. Das Intervall ist die Menge reeller $x$-Werte, zum Beispiel $(-1,5)$. Sie hängen zusammen, sind aber nicht dasselbe.

Das Zentrum $c$ vergessen

In $\sum a_n (x-c)^n$ ist das Zentrum $c$, nicht immer $0$. Wenn die Reihe $(x-2)^n$ verwendet, basiert der Abstandstest auf $|x-2|$ und nicht auf $|x|$.

Die Randpunktprüfung auslassen

Das Quotientenkriterium und das Wurzelkriterium sagen dir normalerweise, was im Inneren und außerhalb passiert, aber an den Randpunkten oft nichts. Du musst sie trotzdem einzeln prüfen.

Annehmen, dass sich beide Randpunkte gleich verhalten

Auch wenn der Radius auf beiden Seiten gleich ist, kann ein Randpunkt konvergieren, während der andere divergiert. Das Verhalten an den Randpunkten hängt von der Reihe ab, die nach dem Einsetzen entsteht.

Wann Potenzreihen verwendet werden

Potenzreihen tauchen in der Analysis, in Differentialgleichungen und bei Approximationen auf. Sie sind nützlich, wenn eine Funktion direkt schwer zu behandeln ist, sich aber in der Nähe eines Punktes durch ihre Reihenentwicklung leichter untersuchen lässt.

Taylor- und Maclaurin-Reihen sind wichtige Beispiele. Sie sind Potenzreihen, die eine Funktion lokal darstellen sollen, wenn die nötigen Bedingungen erfüllt sind.

Probiere eine ähnliche Potenzreihe

Probiere deine eigene Variante mit

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+1)^n}{2^n}.$$

Bestimme das Zentrum, berechne den Radius und prüfe dann die Randpunkte. Wenn du danach noch einen ähnlichen Fall sehen willst, schau dir eine Taylor-Reihe an und beachte, wie dieselben Konvergenzideen wieder auftauchen.