Matriks — Jenis, Operasi & Determinan

Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom. Untuk memahami matriks dengan cepat, fokuslah pada empat hal: ukuran, jenis-jenis matriks yang umum, operasi mana yang terdefinisi, dan apa yang ditunjukkan determinan saat matriks berbentuk persegi.

Sebuah matriks dapat digunakan untuk mengatur data, tetapi dalam aljabar linear dasar matriks juga merepresentasikan aturan yang mentransformasikan vektor. Anda tidak perlu memahami seluruh teorinya untuk mulai belajar. Yang paling penting adalah mengetahui bagaimana ukuran menentukan aturannya.

Ukuran matriks: baris dan kolom

Ukuran matriks ditulis sebagai baris kali kolom. Sebagai contoh,

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & -3 & 5 \end{bmatrix}$$

adalah matriks $2 \times 3$ karena memiliki $2$ baris dan $3$ kolom.

Ukuran itu bukan sekadar label. Ukuran menentukan apa yang bisa dilakukan matriks dan operasi mana yang masuk akal.

Jenis-jenis matriks yang umum

Sebagian besar soal pengantar matriks menggunakan sejumlah kecil jenis matriks.

Matriks baris dan matriks kolom

Matriks baris memiliki satu baris, misalnya matriks $1 \times 3$. Matriks kolom memiliki satu kolom, misalnya matriks $3 \times 1$.

Matriks persegi

Matriks persegi memiliki jumlah baris dan kolom yang sama, seperti $2 \times 2$ atau $3 \times 3$. Determinan dan invers hanya didefinisikan untuk matriks persegi.

Matriks diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennya bernilai nol kecuali mungkin pada diagonal utama. Matriks seperti ini sering lebih mudah dikerjakan karena nilai-nilai pentingnya terkonsentrasi pada diagonal tersebut.

Matriks identitas

Matriks identitas adalah versi matriks dari bilangan $1$ dalam perkalian. Untuk kasus $2 \times 2$,

$$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

dan mengalikan dengan $I$ membuat matriks yang kompatibel tetap tidak berubah.

Matriks nol

Matriks nol memiliki semua elemen sama dengan $0$. Ukurannya bisa berbeda-beda, dan matriks ini berperan sebagai nol penjumlahan untuk matriks dengan ukuran yang sama.

Operasi matriks: mana yang terdefinisi dan mana yang tidak

Penjumlahan dan pengurangan

Anda hanya dapat menjumlahkan atau mengurangkan matriks jika ukurannya tepat sama. Operasinya dilakukan elemen demi elemen.

Jika ukurannya berbeda, operasi tersebut tidak terdefinisi.

Perkalian skalar

Jika Anda mengalikan matriks dengan sebuah bilangan, yang disebut skalar, maka setiap elemen dikalikan dengan bilangan tersebut.

Sebagai contoh,

$$3 \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 12 & 0 \end{bmatrix}$$

Perkalian matriks

Perkalian matriks mengikuti aturan yang berbeda. Jika $A$ berukuran $m \times n$ dan $B$ berukuran $n \times p$, maka $AB$ terdefinisi dan hasilnya adalah matriks berukuran $m \times p$.

Dimensi bagian dalam harus cocok. Inilah syaratnya:

$$(m \times n)(n \times p)$$

terdefinisi, tetapi

$$(m \times n)(r \times p)$$

tidak terdefinisi ketika $n \ne r$.

Urutan juga penting. Bahkan ketika kedua hasil kali ada, $AB$ dan $BA$ biasanya berbeda.

Transpos

Transpos dari sebuah matriks menukar baris dan kolom. Matriks $2 \times 3$ menjadi matriks $3 \times 2$.

Hal ini penting dalam banyak rumus karena mengubah bagaimana matriks tersusun dalam perkalian.

Determinan: apa yang ditunjukkannya

Determinan adalah satu bilangan yang terkait dengan matriks persegi. Determinan tidak didefinisikan untuk matriks yang bukan persegi.

Untuk matriks $2 \times 2$

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

determinannya adalah

$$\det(A) = ad - bc$$

Pada tingkat pemula, interpretasi yang paling berguna adalah sebagai berikut:

• Jika $\det(A) \ne 0$, matriks memiliki invers.
• Jika $\det(A) = 0$, matriks tidak memiliki invers.

Secara geometri, untuk matriks $2 \times 2$, $|\det(A)|$ memberikan faktor pengali luas. Tanda positif atau negatif menunjukkan apakah orientasi dipertahankan atau dibalik.

Contoh matriks yang dikerjakan

Ambil

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

Ini adalah matriks persegi, jadi determinannya terdefinisi. Hitung dengan rumus $ad-bc$:

$$\det(A) = (2)(4) - (1)(3) = 8 - 3 = 5$$

Karena $\det(A) = 5 \ne 0$, matriks tersebut memiliki invers.

Satu contoh ini menghubungkan gagasan-gagasan utama:

• Matriks berukuran $2 \times 2$, jadi matriks ini persegi.
• Persegi berarti determinan terdefinisi.
• Determinan yang tidak nol berarti matriks memiliki invers.
• Sebagai transformasi pada bidang, matriks ini mengalikan luas bertanda sebesar $5$.

Itulah sebabnya determinan penting. Determinan bukan sekadar bilangan yang dihitung. Determinan memberi tahu Anda sesuatu yang bersifat struktural tentang matriks.

Kesalahan umum pada matriks

Salah satu kesalahan umum adalah mencoba menjumlahkan matriks dengan ukuran berbeda. Kesalahan lain adalah mencoba mengalikan matriks tanpa memeriksa dimensi bagian dalam terlebih dahulu.

Siswa juga sering menganggap $AB=BA$. Untuk matriks, hal itu biasanya salah.

Pada determinan, kesalahan utamanya adalah menerapkannya pada matriks yang bukan persegi. Kesalahan umum lainnya adalah salah mengingat rumus $2 \times 2$ sebagai $ad+bc$ padahal yang benar adalah $ad-bc$.

Di mana matriks digunakan

Matriks muncul di mana pun hubungan antara banyak besaran perlu diatur sekaligus. Dalam mata kuliah awal, matriks digunakan untuk sistem persamaan dan transformasi linear.

Matriks juga muncul dalam grafika komputer, analisis data, model rekayasa, dan komputasi numerik. Detailnya berubah menurut bidang, tetapi aturan inti yang sama tentang ukuran, perkalian, dan keberbalikan tetap penting.

Coba soal matriks serupa

Pilih sebuah matriks kecil $2 \times 2$ dan jawab empat pertanyaan: berapa ukurannya, apakah matriks itu persegi, berapa determinannya, dan apakah matriks itu memiliki invers?

Jika Anda menggunakan kalkulator setelahnya, prediksikan jawaban-jawaban itu sebelum menghitung. Dengan begitu, alat tersebut menjadi pemeriksa, bukan pengganti pemahaman.