Lois de Kirchhoff — KCL et KVL expliquées avec des exemples

Les lois de Kirchhoff sont les règles de base pour analyser les circuits comportant plus d’une branche ou plus d’une boucle. La loi des nœuds de Kirchhoff, ou KCL, dit que le courant se conserve à un nœud dans l’analyse des circuits en régime permanent. La loi des mailles de Kirchhoff, ou KVL, dit que la somme algébrique des variations de tension autour d’une boucle fermée est nulle dans le modèle habituel des circuits à paramètres localisés.

Si vous voulez le moyen mnémotechnique le plus rapide, retenez ceci : la KCL s’applique aux nœuds, la KVL aux boucles.

Ce que signifie la KCL

La KCL s’applique là où les branches se rejoignent.

$$\sum I_{in} = \sum I_{out}$$

Vous pouvez aussi écrire la même idée sous la forme

$$\sum I = 0$$

si vous attribuez un signe aux courants entrant dans le nœud et le signe opposé aux courants qui en sortent.

L’idée intuitive est simple. En régime permanent, la charge ne s’accumule pas continuellement à un nœud ordinaire du circuit. Donc tout courant qui entre doit ressortir.

Ce que signifie la KVL

La KVL s’applique autour d’une boucle fermée.

$$\sum V = 0$$

Cela signifie que chaque élévation de tension est compensée par des chutes de tension lorsque vous revenez au point de départ.

C’est une idée de bilan d’énergie. Une source comme une pile fournit de l’énergie par unité de charge, et des éléments du circuit comme les résistances retirent cette énergie sous forme de chutes de tension.

La condition est importante. Dans le modèle introductif habituel des circuits à paramètres localisés, la KVL fonctionne exactement comme elle est écrite. Si un flux magnétique variable traverse la boucle, cette forme simple demande des précautions supplémentaires.

Pourquoi on a généralement besoin des deux lois

La KCL et la KVL remplissent des rôles différents. La KCL relie les courants aux nœuds. La KVL relie les tensions autour des boucles. Dans la plupart des problèmes réels, on les combine avec une loi de composant comme la loi d’Ohm.

C’est pourquoi les problèmes de Kirchhoff ressemblent souvent à un système d’équations plutôt qu’à une formule unique. Les lois vous disent ce qui doit être conservé, et les équations des composants vous disent comment chaque partie se comporte.

Exemple résolu : trouver les courants de branche dans un circuit en parallèle

Supposons qu’une pile de $12 \, \mathrm{V}$ soit connectée à deux résistances en parallèle, $3 \, \Omega$ et $6 \, \Omega$. Appelons $I_1$ le courant dans la résistance de $3 \, \Omega$ et $I_2$ le courant dans la résistance de $6 \, \Omega$.

Comme les résistances sont en parallèle, chaque branche est connectée aux mêmes deux nœuds que la pile. Cela signifie que chaque résistance a une différence de potentiel de $12 \, \mathrm{V}$ à ses bornes. La KVL permet d’écrire cet équilibre des tensions autour de chaque boucle formée par la pile et une branche.

Commençons par la boucle qui contient la pile et la branche de $3 \, \Omega$ :

$$12 - 3I_1 = 0$$

Donc

$$I_1 = \frac{12}{3} = 4 \, \mathrm{A}$$

Utilisons maintenant la boucle qui contient la pile et la branche de $6 \, \Omega$ :

$$12 - 6I_2 = 0$$

Donc

$$I_2 = \frac{12}{6} = 2 \, \mathrm{A}$$

Passons maintenant au nœud où le courant se sépare. La KCL donne

$$I_{\text{total}} = I_1 + I_2 = 4 + 2 = 6 \, \mathrm{A}$$

La pile fournit donc $6 \, \mathrm{A}$ au total, tandis que le courant se répartit de manière inégale entre les deux branches parce que les résistances sont différentes.

Voici le schéma principal à retenir :

• La KVL donne l’équilibre des tensions autour de chaque boucle.
• La KCL indique comment le courant se divise et se recombine aux nœuds.

Erreurs courantes

Mélanger les conventions de signe

Choisissez d’abord un sens pour le courant et un sens pour la boucle. Ensuite, gardez-les cohérents. Si un courant calculé sort négatif, cela signifie généralement que le courant réel circule dans le sens opposé.

Utiliser seulement les lois de Kirchhoff sans les équations des composants

La KCL et la KVL suffisent rarement à terminer le problème à elles seules. Il faut généralement encore une relation comme $V = IR$ pour une résistance.

Écrire la KVL sur un trajet qui n’est pas une boucle fermée

La KVL est une règle de boucle. Si vous ne revenez pas au point de départ, vous n’appliquez pas correctement la loi.

Oublier la condition derrière la forme simple de la KVL

Pour les exercices ordinaires de circuits, la forme habituelle fonctionne bien. Dans des situations électromagnétiques plus avancées avec un flux magnétique variable, il ne faut pas appliquer aveuglément la règle simple de boucle.

Quand les lois de Kirchhoff sont utilisées

Les lois de Kirchhoff sont utilisées dès qu’un circuit comporte plusieurs branches, plusieurs boucles, ou trop d’inconnues pour une formule directe. Elles sont à la base de la méthode des potentiels de nœud, de la méthode des courants de maille et de nombreux problèmes de réseaux de résistances.

Même lorsque le logiciel de circuit résout automatiquement le système, il applique généralement les mêmes idées de conservation en arrière-plan.

Comment savoir s’il faut utiliser d’abord la KCL ou la KVL

Si la question porte sur la manière dont le courant se divise ou se combine, commencez par chercher une équation de KCL à un nœud.

Si la question porte sur les élévations et les chutes de tension le long d’un trajet dans le circuit, commencez par chercher une équation de KVL autour d’une boucle.

Si le circuit contient des résistances de valeurs connues, attendez-vous à combiner les deux avec la loi d’Ohm.

Essayez un problème similaire sur les lois de Kirchhoff

Modifiez l’exemple avec une pile de $9 \, \mathrm{V}$ et les deux mêmes résistances. Commencez par trouver le courant dans chaque branche. Ensuite, utilisez la KCL pour vérifier le courant total au nœud de séparation.