Leggi di Kirchhoff — KCL e KVL spiegate con esempi

Le leggi di Kirchhoff sono le regole di base per analizzare circuiti con più di un ramo o di una maglia. La legge delle correnti di Kirchhoff, o KCL, afferma che la corrente si conserva in un nodo nell'analisi dei circuiti in regime stazionario. La legge delle tensioni di Kirchhoff, o KVL, afferma che la somma delle variazioni di tensione con segno lungo una maglia chiusa è zero nel consueto modello a parametri concentrati.

Se vuoi il promemoria più rapido, usa questa distinzione: la KCL è per i nodi, la KVL è per le maglie.

Cosa significa la KCL

La KCL si applica nei punti in cui i rami si incontrano.

$$\sum I_{in} = \sum I_{out}$$

Puoi scrivere la stessa idea anche come

$$\sum I = 0$$

se assegni un segno alle correnti entranti nel nodo e il segno opposto alle correnti uscenti.

L'intuizione è semplice. In regime stazionario, la carica non continua ad accumularsi in un normale nodo del circuito. Quindi tutta la corrente che entra deve anche uscire.

Cosa significa la KVL

La KVL si applica lungo una maglia chiusa.

$$\sum V = 0$$

Questo significa che ogni aumento di tensione è bilanciato dalle cadute di tensione quando torni al punto di partenza.

È un'idea di bilancio energetico. Un generatore come una batteria fornisce energia per unità di carica, mentre elementi del circuito come i resistori sottraggono quell'energia sotto forma di cadute di tensione.

La condizione è importante. Nel consueto modello introduttivo a parametri concentrati, la KVL vale esattamente come scritta. Se un flusso magnetico variabile concatena la maglia, la forma semplice richiede maggiore attenzione.

Perché di solito servono entrambe le leggi

La KCL e la KVL svolgono compiti diversi. La KCL mette in relazione le correnti nei nodi. La KVL mette in relazione le tensioni lungo le maglie. Nella maggior parte dei problemi reali, le combini con una legge dei componenti come la legge di Ohm.

Per questo i problemi su Kirchhoff spesso sembrano un sistema di equazioni invece che una singola formula. Le leggi ti dicono cosa deve conservarsi, e le equazioni dei componenti ti dicono come si comporta ogni parte.

Esempio svolto: trovare le correnti nei rami in un circuito in parallelo

Supponi che una batteria da $12 \, \mathrm{V}$ sia collegata a due resistori in parallelo, $3 \, \Omega$ e $6 \, \Omega$. Indichiamo con $I_1$ la corrente nel resistore da $3 \, \Omega$ e con $I_2$ la corrente nel resistore da $6 \, \Omega$.

Poiché i resistori sono in parallelo, ogni ramo è collegato agli stessi due nodi della batteria. Questo significa che su ciascun resistore c'è una differenza di potenziale di $12 \, \mathrm{V}$. La KVL ti permette di scrivere questo bilancio di tensione attorno a ciascuna maglia batteria-ramo.

Inizia con la maglia che contiene la batteria e il ramo da $3 \, \Omega$:

$$12 - 3I_1 = 0$$

Quindi

$$I_1 = \frac{12}{3} = 4 \, \mathrm{A}$$

Ora usa la maglia che contiene la batteria e il ramo da $6 \, \Omega$:

$$12 - 6I_2 = 0$$

Quindi

$$I_2 = \frac{12}{6} = 2 \, \mathrm{A}$$

Ora passa al nodo in cui la corrente si divide. La KCL dà

$$I_{\text{total}} = I_1 + I_2 = 4 + 2 = 6 \, \mathrm{A}$$

Quindi la batteria fornisce in totale $6 \, \mathrm{A}$, mentre la corrente si divide in modo non uniforme tra i due rami perché le resistenze sono diverse.

Questo è lo schema principale da ricordare:

• La KVL ti dice il bilancio delle tensioni attorno a ogni maglia.
• La KCL ti dice come la corrente si divide e si ricombina nei nodi.

Errori comuni

Mescolare le convenzioni dei segni

Scegli prima un verso per la corrente e un verso di percorrenza della maglia. Poi mantienili coerenti. Se una corrente calcolata risulta negativa, di solito significa che la corrente reale scorre nel verso opposto.

Usare solo le leggi di Kirchhoff senza le equazioni dei componenti

La KCL e la KVL raramente bastano da sole a concludere il problema. Di solito serve ancora una relazione come $V = IR$ per un resistore.

Scrivere la KVL su un percorso che non è una maglia chiusa

La KVL è una regola per le maglie. Se non torni al punto di partenza, non stai applicando correttamente la legge.

Dimenticare la condizione alla base della forma semplice della KVL

Per i normali esercizi sui circuiti, la forma usuale funziona bene. In situazioni elettromagnetiche più avanzate con flusso magnetico variabile, non dovresti applicare alla cieca la semplice regola della maglia.

Quando si usano le leggi di Kirchhoff

Le leggi di Kirchhoff si usano ogni volta che un circuito ha più rami, più maglie o troppe incognite per una formula rapida. Sono alla base dell'analisi nodale, dell'analisi per correnti di maglia e di molti problemi sulle reti di resistori.

Anche quando un software per circuiti risolve automaticamente il sistema, di solito sta applicando le stesse idee di conservazione.

Come capire se usare prima KCL o KVL

Se la domanda riguarda come la corrente si divide o si combina, inizia cercando una KCL in un nodo.

Se la domanda riguarda aumenti e cadute di tensione lungo un percorso nel circuito, inizia cercando una KVL attorno a una maglia.

Se il circuito include resistori con valori noti, aspettati di combinare entrambe con la legge di Ohm.

Prova un problema simile sulle leggi di Kirchhoff

Modifica l'esempio usando una batteria da $9 \, \mathrm{V}$ con gli stessi due resistori. Per prima cosa trova la corrente in ciascun ramo. Poi usa la KCL per verificare la corrente totale nel nodo di diramazione.