Prawa Kirchhoffa — KCL i KVL wyjaśnione na przykładach

Prawa Kirchhoffa to podstawowe reguły analizy obwodów mających więcej niż jedną gałąź lub pętlę. Pierwsze prawo Kirchhoffa, czyli KCL, mówi, że w analizie stanu ustalonego prąd jest zachowany w węźle. Drugie prawo Kirchhoffa, czyli KVL, mówi, że znakowana suma zmian napięcia wokół zamkniętej pętli jest równa zeru w typowym modelu obwodu skupionego.

Jeśli chcesz zapamiętać to najszybciej, użyj prostego podziału: KCL dotyczy węzłów, a KVL dotyczy pętli.

Co oznacza KCL

KCL stosuje się tam, gdzie spotykają się gałęzie.

$$\sum I_{in} = \sum I_{out}$$

Tę samą ideę można też zapisać jako

$$\sum I = 0$$

jeśli przypiszesz jeden znak prądom wpływającym do węzła, a przeciwny znak prądom z niego wypływającym.

Intuicja jest prosta. W stanie ustalonym ładunek nie gromadzi się stale w zwykłym węźle obwodu. Dlatego prąd, który wpływa, musi też wypłynąć.

Co oznacza KVL

KVL stosuje się wokół zamkniętej pętli.

$$\sum V = 0$$

Oznacza to, że każdy wzrost napięcia jest równoważony przez spadki napięcia, gdy wracasz do punktu startowego.

To idea bilansu energii. Źródło, takie jak bateria, dostarcza energię na jednostkę ładunku, a elementy obwodu, takie jak rezystory, odbierają tę energię w postaci spadków napięcia.

Warunek ma znaczenie. W typowym, wprowadzającym modelu obwodu skupionego KVL działa dokładnie w tej postaci. Jeśli pętlę obejmuje zmienny strumień magnetyczny, ta prosta forma wymaga dodatkowej ostrożności.

Dlaczego zwykle potrzebujesz obu praw

KCL i KVL pełnią różne funkcje. KCL wiąże prądy w węzłach. KVL wiąże napięcia wokół pętli. W większości rzeczywistych zadań łączy się je jeszcze z prawem elementu, takim jak prawo Ohma.

Dlatego zadania z praw Kirchhoffa często przypominają układ równań, a nie jedno gotowe równanie. Te prawa mówią, co musi być zachowane, a równania elementów opisują, jak zachowuje się każda część obwodu.

Przykład obliczeniowy: wyznaczanie prądów gałęzi w obwodzie równoległym

Załóżmy, że bateria $12 \, \mathrm{V}$ jest podłączona do dwóch rezystorów połączonych równolegle: $3 \, \Omega$ i $6 \, \Omega$. Niech prądy gałęziowe będą równe $I_1$ dla rezystora $3 \, \Omega$ oraz $I_2$ dla rezystora $6 \, \Omega$.

Ponieważ rezystory są połączone równolegle, każda gałąź jest podłączona do tych samych dwóch węzłów co bateria. To oznacza, że na każdym rezystorze występuje różnica potencjałów $12 \, \mathrm{V}$. KVL pozwala zapisać ten bilans napięć wokół każdej pętli bateria–gałąź.

Zacznij od pętli zawierającej baterię i gałąź z rezystorem $3 \, \Omega$:

$$12 - 3I_1 = 0$$

Stąd

$$I_1 = \frac{12}{3} = 4 \, \mathrm{A}$$

Teraz użyj pętli zawierającej baterię i gałąź z rezystorem $6 \, \Omega$:

$$12 - 6I_2 = 0$$

Stąd

$$I_2 = \frac{12}{6} = 2 \, \mathrm{A}$$

Teraz przejdź do węzła, w którym prąd się rozdziela. KCL daje

$$I_{\text{total}} = I_1 + I_2 = 4 + 2 = 6 \, \mathrm{A}$$

Zatem bateria dostarcza łącznie $6 \, \mathrm{A}$, a prąd dzieli się nierówno między dwie gałęzie, ponieważ opory są różne.

To najważniejszy schemat, który warto zapamiętać:

• KVL opisuje bilans napięć wokół każdej pętli.
• KCL opisuje, jak prąd dzieli się i łączy ponownie w węzłach.

Typowe błędy

Mieszanie konwencji znaków

Najpierw wybierz kierunek prądu i kierunek obchodzenia pętli. Potem stosuj je konsekwentnie. Jeśli obliczony prąd wyjdzie ujemny, zwykle oznacza to, że rzeczywisty prąd płynie w przeciwnym kierunku.

Używanie samych praw Kirchhoffa bez równań elementów

KCL i KVL rzadko wystarczają do samodzielnego rozwiązania zadania. Zwykle nadal potrzebujesz zależności takiej jak $V = IR$ dla rezystora.

Zapisywanie KVL dla drogi, która nie jest zamkniętą pętlą

KVL jest regułą dla pętli. Jeśli nie wracasz do punktu startowego, to nie stosujesz tego prawa poprawnie.

Zapominanie o warunku stojącym za prostą postacią KVL

W zwykłych zadaniach z obwodów standardowa postać działa dobrze. W bardziej zaawansowanych sytuacjach elektromagnetycznych ze zmiennym strumieniem magnetycznym nie należy bezrefleksyjnie stosować prostej reguły pętli.

Kiedy stosuje się prawa Kirchhoffa

Prawa Kirchhoffa stosuje się zawsze wtedy, gdy obwód ma wiele gałęzi, wiele pętli albo zbyt wiele niewiadomych, by użyć prostego wzoru. Stanowią podstawę metody potencjałów węzłowych, metody prądów oczkowych i wielu zadań z sieci rezystorów.

Nawet gdy program do analizy obwodów rozwiązuje układ automatycznie, zwykle opiera się na tych samych zasadach zachowania.

Jak rozpoznać, czy najpierw użyć KCL czy KVL

Jeśli pytanie dotyczy tego, jak prąd się dzieli lub łączy, zacznij od szukania równania KCL w węźle.

Jeśli pytanie dotyczy wzrostów i spadków napięcia wzdłuż drogi w obwodzie, zacznij od szukania równania KVL wokół pętli.

Jeśli obwód zawiera rezystory o znanych wartościach, spodziewaj się, że trzeba będzie połączyć oba prawa z prawem Ohma.

Spróbuj podobnego zadania z praw Kirchhoffa

Zmień przykład na baterię $9 \, \mathrm{V}$ z tymi samymi dwoma rezystorami. Najpierw wyznacz prąd w każdej gałęzi. Następnie użyj KCL, aby sprawdzić całkowity prąd w węźle rozgałęzienia.