Kirchhoffsche Gesetze — KCL & KVL einfach mit Beispielen erklärt

Die kirchhoffschen Gesetze sind die Grundregeln zur Analyse von Schaltungen mit mehr als einem Zweig oder einer Schleife. Die kirchhoffsche Knotenregel, kurz KCL, besagt, dass der Strom an einem Knoten in der stationären Schaltungsanalyse erhalten bleibt. Die kirchhoffsche Maschenregel, kurz KVL, besagt, dass sich die vorzeichenbehafteten Spannungsänderungen entlang einer geschlossenen Schleife im üblichen Modell konzentrierter Schaltungen zu null addieren.

Wenn du dir die schnellste Merkhilfe merken willst, nimm diese Aufteilung: KCL gilt für Knoten, KVL für Schleifen.

Was KCL bedeutet

KCL gilt dort, wo Zweige zusammentreffen.

$$\sum I_{in} = \sum I_{out}$$

Du kannst dieselbe Idee auch so schreiben:

$$\sum I = 0$$

wenn du den in den Knoten hineinfließenden Strömen ein Vorzeichen gibst und den aus dem Knoten herausfließenden das entgegengesetzte.

Die Vorstellung dahinter ist einfach. Im stationären Betrieb sammelt sich an einem gewöhnlichen Schaltungsknoten nicht ständig Ladung an. Also muss jeder hineinfließende Strom auch wieder herausfließen.

Was KVL bedeutet

KVL gilt entlang einer geschlossenen Schleife.

$$\sum V = 0$$

Das bedeutet, dass jeder Spannungsanstieg durch Spannungsabfälle ausgeglichen wird, wenn du zum Ausgangspunkt zurückkehrst.

Das ist eine Art Energiebuchhaltung. Eine Quelle wie eine Batterie liefert Energie pro Ladungseinheit, und Schaltungselemente wie Widerstände nehmen diese Energie in Form von Spannungsabfällen wieder auf.

Die Bedingung ist wichtig. Im üblichen einführenden Modell konzentrierter Schaltungen gilt KVL genau in dieser Form. Wenn ein veränderlicher magnetischer Fluss die Schleife durchsetzt, braucht die einfache Form besondere Vorsicht.

Warum man meistens beide Gesetze braucht

KCL und KVL erfüllen unterschiedliche Aufgaben. KCL verknüpft Ströme an Knoten. KVL verknüpft Spannungen entlang von Schleifen. In den meisten echten Aufgaben kombinierst du beide mit einem Bauteilgesetz wie dem ohmschen Gesetz.

Deshalb fühlen sich Aufgaben zu Kirchhoff oft eher wie ein Gleichungssystem als wie eine einzelne Formel an. Die Gesetze sagen dir, was erhalten bleiben muss, und die Bauteilgleichungen sagen dir, wie sich jedes Teil verhält.

Rechenbeispiel: Zweigströme in einer Parallelschaltung bestimmen

Angenommen, eine Batterie mit $12 \, \mathrm{V}$ ist an zwei parallele Widerstände mit $3 \, \Omega$ und $6 \, \Omega$ angeschlossen. Die Zweigströme seien $I_1$ durch den Widerstand mit $3 \, \Omega$ und $I_2$ durch den Widerstand mit $6 \, \Omega$.

Weil die Widerstände parallel geschaltet sind, liegt jeder Zweig an denselben zwei Knoten wie die Batterie. Das bedeutet, dass an jedem Widerstand eine Potentialdifferenz von $12 \, \mathrm{V}$ anliegt. Mit KVL kannst du diese Spannungsbilanz für jede Batterie-Zweig-Schleife aufschreiben.

Beginne mit der Schleife, die die Batterie und den Zweig mit $3 \, \Omega$ enthält:

$$12 - 3I_1 = 0$$

Also gilt

$$I_1 = \frac{12}{3} = 4 \, \mathrm{A}$$

Nun nimm die Schleife, die die Batterie und den Zweig mit $6 \, \Omega$ enthält:

$$12 - 6I_2 = 0$$

Also gilt

$$I_2 = \frac{12}{6} = 2 \, \mathrm{A}$$

Gehe jetzt zu dem Knoten, an dem sich der Strom aufteilt. KCL liefert

$$I_{\text{total}} = I_1 + I_2 = 4 + 2 = 6 \, \mathrm{A}$$

Die Batterie liefert also insgesamt $6 \, \mathrm{A}$, während sich der Strom wegen der unterschiedlichen Widerstände ungleich auf die beiden Zweige verteilt.

Das ist das wichtigste Muster, das du dir merken solltest:

• KVL gibt dir die Spannungsbilanz entlang jeder Schleife.
• KCL zeigt dir, wie sich der Strom an Knoten aufteilt und wieder zusammenfließt.

Häufige Fehler

Vorzeichenkonventionen vermischen

Lege zuerst eine Stromrichtung und eine Umlaufrichtung für die Schleife fest. Dann bleibe konsequent dabei. Wenn ein berechneter Strom negativ herauskommt, bedeutet das meist, dass der tatsächliche Strom in die entgegengesetzte Richtung fließt.

Nur die kirchhoffschen Gesetze ohne Bauteilgleichungen verwenden

KCL und KVL lösen das Problem selten allein vollständig. Meist brauchst du zusätzlich noch eine Beziehung wie $V = IR$ für einen Widerstand.

KVL auf einen Weg anwenden, der keine geschlossene Schleife ist

KVL ist eine Schleifenregel. Wenn du nicht zum Ausgangspunkt zurückkehrst, wendest du das Gesetz nicht korrekt an.

Die Bedingung hinter der einfachen KVL-Form vergessen

Für gewöhnliche Schaltungsaufgaben funktioniert die übliche Form gut. In fortgeschritteneren elektromagnetischen Situationen mit veränderlichem magnetischem Fluss solltest du die einfache Schleifenregel nicht unkritisch anwenden.

Wann die kirchhoffschen Gesetze verwendet werden

Die kirchhoffschen Gesetze werden immer dann verwendet, wenn eine Schaltung mehrere Zweige, mehrere Schleifen oder zu viele Unbekannte für eine Abkürzungsformel hat. Sie sind die Grundlage der Knotenspannungsanalyse, der Maschenstromanalyse und vieler Aufgaben zu Widerstandsnetzwerken.

Selbst wenn eine Schaltungssoftware das Gleichungssystem automatisch löst, setzt sie im Hintergrund meist dieselben Erhaltungsideen um.

Woran du erkennst, ob du zuerst KCL oder KVL verwenden solltest

Wenn es in der Frage darum geht, wie sich Strom aufteilt oder zusammenfließt, beginne mit KCL an einem Knoten.

Wenn es um Spannungsanstiege und Spannungsabfälle entlang eines Weges in der Schaltung geht, beginne mit KVL entlang einer Schleife.

Wenn die Schaltung Widerstände mit bekannten Werten enthält, solltest du damit rechnen, beide zusammen mit dem ohmschen Gesetz zu verwenden.

Probiere eine ähnliche Aufgabe zu den kirchhoffschen Gesetzen

Ändere das Beispiel zu einer Batterie mit $9 \, \mathrm{V}$ und denselben zwei Widerständen. Bestimme zuerst jeden Zweigstrom. Verwende dann KCL, um den Gesamtstrom am Verzweigungsknoten zu prüfen.