Théorème de Pythagore — Formule et Exercices

Le théorème de Pythagore établit une relation entre les trois côtés d'un triangle rectangle. Si les cathètes sont $a$ et $b$ et que l'hypoténuse est $c$, alors la formule est :

$a^2 + b^2 = c^2.$

Elle n'est valable que lorsque le triangle possède un angle de $90^\circ$. Si cette condition n'est pas remplie, il n'est pas correct d'utiliser le théorème.

Comment identifier l'hypoténuse et les cathètes

Les cathètes sont les deux côtés qui forment l'angle droit. L'hypoténuse est le côté opposé à cet angle et, par conséquent, c'est toujours le côté le plus long du triangle.

Cette identification est cruciale car la lettre $c$ dans la formule représente l'hypoténuse. Si vous inversez les côtés, l'équation sera fausse.

Comment utiliser la formule du théorème de Pythagore

Si vous connaissez les deux cathètes et que vous voulez trouver l'hypoténuse, utilisez :

$c = \sqrt{a^2 + b^2}.$

Si vous connaissez l'hypoténuse et une cathète, vous pouvez isoler l'autre :

$a = \sqrt{c^2 - b^2}$

ou

$b = \sqrt{c^2 - a^2}.$

Cela n'a de sens que si $c$ est bien l'hypoténuse et qu'elle est plus grande que l'autre côté connu.

Exemple résolu : comment trouver l'hypoténuse

Un triangle rectangle a des cathètes de $6$ cm et $8$ cm. Quelle est la longueur de l'hypoténuse ?

En appliquant la formule :

$6^2 + 8^2 = c^2.$

$36 + 64 = c^2.$

$100 = c^2.$

$c = \sqrt{100} = 10.$

Ainsi, l'hypoténuse mesure $10$ cm.

Cet exemple est utile car la réponse passe également la vérification rapide : l'hypoténuse est bien plus grande que $6$ et $8$, comme cela doit être le cas pour tout triangle rectangle.

Comment trouver une cathète sans se tromper

Si l'hypoténuse mesure $13$ cm et qu'une cathète mesure $5$ cm, vous pouvez trouver l'autre cathète ainsi :

$a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144.$

$a = 12.$

Ici, le point de vigilance principal est de ne pas oublier la racine carrée à la fin. Puisque $a^2 = 144$, le côté est $a = 12$, et non $144$.

Erreurs courantes dans les exercices

Utiliser la formule pour n'importe quel triangle

Le théorème ne s'applique pas à tous les triangles. La condition essentielle est la présence d'un angle droit.

Confondre cathète et hypoténuse

L'hypoténuse est toujours le côté le plus long. Si vous prenez une cathète pour l'hypoténuse, vous construirez l'équation erronément.

Oublier d'extraire la racine à la fin

Lorsque le calcul arrive à un résultat comme $c^2 = 169$, la valeur du côté est $c = 13$, et non $169$.

Où le théorème de Pythagore est-il utilisé ?

Le théorème de Pythagore apparaît en géométrie plane, dans les problèmes de distance, le bâtiment, la navigation sur cartes et l'analyse des diagonales. Dans bien des cas, il permet de transformer un schéma en un calcul objectif.

Un exemple classique est la diagonale d'un rectangle. Si les côtés mesurent $9$ et $12$, la diagonale peut être traitée comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

Essayez de résoudre un cas similaire

Tentez votre propre version avec des cathètes de $9$ cm et $12$ cm. Commencez par monter $a^2 + b^2 = c^2$, puis vérifiez si la réponse est bien plus grande que les deux cathètes. Pour aller plus loin, essayez de trouver une cathète quand l'hypoténuse est de $15$ cm et l'autre côté de $9$ cm.