Satz des Pythagoras — Formel und Übungen

Der Satz des Pythagoras setzt die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks in Beziehung zueinander. Wenn die Katheten $a$ und $b$ sind und die Hypotenuse $c$ ist, dann lautet die Formel:

$a^2 + b^2 = c^2.$

Sie gilt nur, wenn das Dreieck einen Winkel von $90^\circ$ hat. Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, darf der Satz nicht angewendet werden.

Wie man Hypotenuse und Katheten identifiziert

Die Katheten sind die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden. Die Hypotenuse ist die Seite gegenüber diesem Winkel und ist daher immer die längste Seite des Dreiecks.

Diese Unterscheidung ist wichtig, da der Buchstabe $c$ in der Formel die Hypotenuse repräsentiert. Wenn du die Seiten vertauschst, ist die Gleichung falsch aufgestellt.

So verwendest du die Formel des Satzes von Pythagoras

Wenn du beide Katheten kennst und die Hypotenuse finden möchtest, verwende:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}.$

Wenn du die Hypotenuse und eine Kathete kennst, kannst du die andere isolieren:

$a = \sqrt{c^2 - b^2}$

oder

$b = \sqrt{c^2 - a^2}.$

Das ergibt nur Sinn, wenn $c$ tatsächlich die Hypotenuse ist und länger als die andere bekannte Seite ist.

Gelöstes Beispiel: So findest du die Hypotenuse

Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten von $6$ cm und $8$ cm. Wie lang ist die Hypotenuse?

Anwendung der Formel:

$6^2 + 8^2 = c^2.$

$36 + 64 = c^2.$

$100 = c^2.$

$c = \sqrt{100} = 10.$

Folglich beträgt die Hypotenuse $10$ cm.

Dieses Beispiel ist hilfreich, da die Antwort auch den Schnellcheck besteht: Die Hypotenuse ist größer als $6$ und $8$, wie es bei jedem rechtwinkligen Dreieck sein muss.

Eine Kathete finden, ohne den Überblick zu verlieren

Wenn die Hypotenuse $13$ cm lang ist und eine Kathete $5$ cm misst, kannst du die andere Kathete so finden:

$a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144.$

$a = 12.$

Hier ist der wichtigste Punkt, am Ende nicht die Quadratwurzel zu vergessen. Da $a^2 = 144$, ist die Seite $a = 12$ und nicht $144$.

Häufige Fehler bei Übungen

Die Formel bei jedem beliebigen Dreieck anwenden

Der Satz gilt nicht für jedes Dreieck. Die wesentliche Bedingung ist das Vorhandensein eines rechten Winkels.

Kathete und Hypotenuse verwechseln

Die Hypotenuse ist immer die längste Seite. Wenn du eine Kathete als Hypotenuse bezeichnest, stellst du die Gleichung falsch auf.

Vergessen, am Ende die Wurzel zu ziehen

Wenn die Rechnung zu einem Ergebnis wie $c^2 = 169$ führt, ist der Wert der Seite $c = 13$ und nicht $169$.

Wo der Satz des Pythagoras angewendet wird

Der Satz des Pythagoras taucht in der ebenen Geometrie, bei Distanzproblemen, im Bauwesen, in der Navigation auf Karten und bei der Analyse von Diagonalen auf. In vielen Fällen hilft er dabei, eine Zeichnung in eine objektive Rechnung zu verwandeln.

Ein klassisches Beispiel ist die Diagonale eines Rechtecks. Wenn die Seiten $9$ und $12$ messen, kann die Diagonale als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks betrachtet werden.

Versuche, einen ähnlichen Fall zu lösen

Probiere es selbst mit Katheten von $9$ cm und $12$ cm. Stelle zuerst $a^2 + b^2 = c^2$ auf und prüfe dann, ob das Ergebnis größer als die beiden Katheten ist. Wenn du noch einen Schritt weitergehen willst, versuche eine Kathete zu finden, wenn die Hypotenuse $15$ cm und die andere Seite $9$ cm beträgt.