피타고라스의 정리 — 공식과 연습 문제

피타고라스의 정리는 직각삼각형의 세 변 사이의 관계를 설명합니다. 두 직각변(catetos)을 $a$와 $b$라 하고, 빗변(hipotenusa)을 $c$라고 한다면 공식은 다음과 같습니다.

$a^2 + b^2 = c^2.$

이 공식은 삼각형이 $90^\circ$의 각도를 가질 때만 적용됩니다. 이 조건이 충족되지 않는다면 피타고라스의 정리를 사용하는 것은 옳지 않습니다.

빗변과 직각변 구분하기

직각변은 직각을 형성하는 두 변을 말합니다. 빗변은 이 직각의 맞은편에 있는 변으로, 항상 삼각형에서 가장 긴 변입니다.

이 구분이 중요한 이유는 공식의 $c$가 빗변을 나타내기 때문입니다. 변의 위치를 잘못 지정하면 방정식이 틀리게 세워집니다.

피타고라스의 정리 공식 사용법

두 직각변의 길이를 알고 빗변을 구하고 싶다면 다음 식을 사용하세요.

$c = \sqrt{a^2 + b^2}.$

빗변과 한 직각변의 길이를 알고 있다면, 나머지 한 변을 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$a = \sqrt{c^2 - b^2}$

또는

$b = \sqrt{c^2 - a^2}.$

이 식은 $c$가 실제로 빗변이며, 알고 있는 다른 변보다 길 때만 의미가 있습니다.

풀이 예제: 빗변 구하기

어떤 직각삼각형의 두 직각변의 길이가 각각 $6$ cm와 $8$ cm입니다. 빗변의 길이는 얼마일까요?

공식을 적용해 보겠습니다.

$6^2 + 8^2 = c^2.$

$36 + 64 = c^2.$

$100 = c^2.$

$c = \sqrt{100} = 10.$

따라서 빗변의 길이는 $10$ cm입니다.

이 예제에서 결과값이 $6$와 $8$보다 크게 나왔으므로, 모든 직각삼각형에서 빗변이 가장 길어야 한다는 기본 원칙에 부합하는 정답임을 빠르게 확인할 수 있습니다.

헷갈리지 않고 직각변 구하는 법

빗변의 길이가 $13$ cm이고 한 직각변의 길이가 $5$ cm일 때, 나머지 직각변은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144.$

$a = 12.$

여기서 가장 주의할 점은 마지막에 제곱근(루트)을 씌우는 것을 잊지 않는 것입니다. $a^2 = 144$이므로, 변의 길이는 $144$가 아니라 $a = 12$가 됩니다.

문제 풀이 시 자주 하는 실수

모든 삼각형에 공식을 적용하는 경우

피타고라스의 정리는 모든 삼각형에 적용되는 것이 아닙니다. 반드시 '직각'이 있어야 한다는 필수 조건이 있습니다.

직각변과 빗변을 혼동하는 경우

빗변은 항상 가장 긴 변입니다. 직각변을 빗변으로 설정하면 방정식 자체가 잘못 세워집니다.

마지막에 제곱근을 구하지 않는 경우

계산 결과가 $c^2 = 169$과 같이 나왔을 때, 변의 값은 $169$이 아니라 $c = 13$입니다.

피타고라스의 정리는 어디에 쓰일까요?

피타고라스의 정리는 평면 기하학, 거리 계산 문제, 건축, 지도 내비게이션, 대각선 분석 등 다양한 분야에서 활용됩니다. 많은 경우, 복잡한 도면을 객관적인 수치 계산으로 변환하는 데 도움을 줍니다.

대표적인 예로 직사각형의 대각선이 있습니다. 가로와 세로의 길이가 각각 $9$와 $12$이라면, 대각선은 직각삼각형의 빗변으로 생각하여 길이를 구할 수 있습니다.

비슷한 문제에 도전해 보세요

직각변의 길이가 $9$ cm와 $12$ cm인 경우를 직접 풀어보세요. 먼저 $a^2 + b^2 = c^2$ 식을 세운 뒤, 결과값이 두 직각변보다 크게 나왔는지 확인해 보세요. 한 단계 더 나아가고 싶다면, 빗변이 $15$ cm이고 다른 한 변이 $9$ cm일 때 나머지 직각변의 길이를 구해보세요.