Twierdzenie Pitagorasa — Wzór i Ćwiczenia

Twierdzenie Pitagorasa opisuje zależność między trzema bokami trójkąta prostokątnego. Jeśli przyprostokątne to $a$ i $b$, a przeciwprostokątna to $c$, to wzór wygląda następująco:

$a^2 + b^2 = c^2.$

Wzór ten obowiązuje tylko wtedy, gdy trójkąt posiada kąt $90^\circ$. Jeśli ten warunek nie jest spełniony, nie można stosować tego twierdzenia.

Jak rozpoznać przeciwprostokątną i przyprostokątne

Przyprostokątne to dwa boki, które tworzą kąt prosty. Przeciwprostokątna to bok leżący naprzeciwko tego kąta, dlatego jest to zawsze najdłuższy bok trójkąta.

Prawidłowe rozpoznanie boków jest kluczowe, ponieważ litera $c$ we wzorze reprezentuje przeciwprostokątną. Jeśli zamienisz boki miejscami, równanie zostanie ułożone błędnie.

Jak korzystać ze wzoru na twierdzenie Pitagorasa

Jeśli znasz obie przyprostokątne i chcesz obliczyć przeciwprostokątną, użyj:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}.$

Jeśli znasz przeciwprostokątną i jedną przyprostokątną, możesz wyznaczyć drugą:

$a = \sqrt{c^2 - b^2}$

lub

$b = \sqrt{c^2 - a^2}.$

Ma to sens tylko wtedy, gdy $c$ rzeczywiście jest przeciwprostokątną i jest dłuższa od drugiego znanego boku.

Przykład rozwiązany: jak obliczyć przeciwprostokątną

Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne o długości $6$ cm i $8$ cm. Ile wynosi przeciwprostokątna?

Stosując wzór:

$6^2 + 8^2 = c^2.$

$36 + 64 = c^2.$

$100 = c^2.$

$c = \sqrt{100} = 10.$

Zatem przeciwprostokątna ma długość $10$ cm.

Ten przykład jest pomocny, ponieważ wynik przechodzi szybką weryfikację: przeciwprostokątna wyszła dłuższa niż $6$ i $8$, co musi mieć miejsce w każdym trójkącie prostokątnym.

Jak obliczyć przyprostokątną, żeby się nie pomylić

Jeśli przeciwprostokątna ma długość $13$ cm, a jedna przyprostokątna $5$ cm, drugą przyprostokątną obliczysz w ten sposób:

$a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144.$

$a = 12.$

Kluczową kwestią jest tutaj pamiętanie o pierwiastku kwadratowym na końcu. Skoro $a^2 = 144$, to bok wynosi $a = 12$, a nie $144$.

Częste błędy w zadaniach

Stosowanie wzoru w dowolnym trójkącie

Twierdzenie nie działa dla każdego trójkąta. Niezbędnym warunkiem jest obecność kąta prostego.

Mylenie przyprostokątnej z przeciwprostokątną

Przeciwprostokątna jest zawsze najdłuższym bokiem. Jeśli uznasz przyprostokątną za przeciwprostokątną, ułożysz równanie błędnie.

Zapominanie o wyciągnięciu pierwiastka na końcu

Kiedy obliczenia doprowadzą Cię do wyniku typu $c^2 = 169$, wartość boku to $c = 13$, a nie $169$.

Gdzie stosuje się twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa pojawia się w geometrii płaskiej, zadaniach dotyczących odległości, budownictwie, nawigacji mapowej oraz przy analizie przekątnych. W wielu przypadkach pomaga zamienić rysunek na konkretne obliczenia.

Klasycznym przykładem jest przekątna prostokąta. Jeśli boki mają długość $9$ i $12$, przekątną można traktować jako przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego.

Spróbuj rozwiązać podobny przypadek

Spróbuj rozwiązać zadanie z przyprostokątnymi o długości $9$ cm i $12$ cm. Najpierw ułóż $a^2 + b^2 = c^2$, a następnie sprawdź, czy wynik jest większy od obu przyprostokątnych. Jeśli chcesz pójść o krok dalej, spróbuj obliczyć przyprostokątną, gdy przeciwprostokątna wynosi $15$ cm, a drugi bok $9$ cm.