ทฤษฎีบทพีทาโกรัส — สูตรและแบบฝึกหัด

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หากกำหนดให้ด้านประกอบมุมฉากคือ $a$ และ $b$ และด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $c$ สูตรที่ใช้คือ:

$a^2 + b^2 = c^2.$

สูตรนี้จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อรูปสามเหลี่ยมมีมุมหนึ่งกาง $90^\circ$ เท่านั้น หากไม่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้ จะไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทนี้ได้

วิธีระบุด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านประกอบมุมฉาก

ด้านประกอบมุมฉาก คือ ด้านสองด้านที่ทำมุมฉากต่อกัน ส่วนด้านตรงข้ามมุมฉาก คือ ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉาก ซึ่งจะเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมเสมอ

การระบุให้ถูกต้องเป็นเรื่องสำคัญมาก เพราะตัวแปร $c$ ในสูตรนั้นแทนค่าด้านตรงข้ามมุมฉาก หากคุณสลับด้านกัน จะทำให้การตั้งสมการผิดพลาด

วิธีใช้สูตรทฤษฎีบทพีทาโกรัส

หากคุณทราบความยาวของด้านประกอบมุมฉากทั้งสองด้าน และต้องการหาด้านตรงข้ามมุมฉาก ให้ใช้สูตร:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}.$

หากคุณทราบความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านประกอบมุมฉากหนึ่งด้าน คุณสามารถย้ายข้างสมการเพื่อหาอีกด้านได้ดังนี้:

$a = \sqrt{c^2 - b^2}$

หรือ

$b = \sqrt{c^2 - a^2}.$

ซึ่งวิธีนี้จะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อ $c$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากและมีความยาวมากกว่าด้านอื่นที่ทราบค่า

ตัวอย่างการคำนวณ: วิธีหาด้านตรงข้ามมุมฉาก

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีด้านประกอบมุมฉากยาว $6$ ซม. และ $8$ ซม. ด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาวเท่าไหร่?

แทนค่าในสูตร:

$6^2 + 8^2 = c^2.$

$36 + 64 = c^2.$

$100 = c^2.$

$c = \sqrt{100} = 10.$

ดังนั้น ด้านตรงข้ามมุมฉากจึงมีความยาว $10$ ซม.

ตัวอย่างนี้ช่วยให้เห็นว่าคำตอบผ่านการตรวจสอบเบื้องต้น เพราะด้านตรงข้ามมุมฉากที่คำนวณได้มีค่ามากกว่า $6$ และ $8$ ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่ต้องเกิดขึ้นในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทุกรูป

วิธีหาด้านประกอบมุมฉากโดยไม่สับสน

หากด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $13$ ซม. และด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาว $5$ ซม. คุณสามารถหาด้านประกอบมุมฉากอีกด้านได้ดังนี้:

$a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144.$

$a = 12.$

จุดที่ต้องระวังที่สุดคืออย่าลืมถอดรากที่สองในขั้นตอนสุดท้าย เนื่องจาก $a^2 = 144$ ดังนั้นความยาวด้านคือ $a = 12$ ไม่ใช่ $144$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในแบบฝึกหัด

การใช้สูตรกับรูปสามเหลี่ยมทุกชนิด

ทฤษฎีบทนี้ไม่ได้ใช้ได้กับสามเหลี่ยมทุกรูป เงื่อนไขสำคัญคือต้องเป็นสามเหลี่ยมที่มีมุมฉากเท่านั้น

การสับสนระหว่างด้านประกอบมุมฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

ด้านตรงข้ามมุมฉากต้องเป็นด้านที่ยาวที่สุดเสมอ หากคุณนำด้านประกอบมุมฉากไปแทนค่าเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก จะทำให้ตั้งสมการผิด

ลืมถอดรากที่สองในตอนท้าย

เมื่อคำนวณจนถึงขั้นตอนอย่าง $c^2 = 169$ ค่าของด้านนั้นคือ $c = 13$ ไม่ใช่ $169$

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้ประโยชน์ที่ไหนบ้าง

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสปรากฏอยู่ในเรขาคณิตระนาบ, การคำนวณระยะทาง, งานก่อสร้าง, การนำทางในแผนที่ และการวิเคราะห์เส้นทแยงมุม ในหลายกรณี ทฤษฎีนี้ช่วยเปลี่ยนภาพวาดให้กลายเป็นการคำนวณที่ชัดเจน

ตัวอย่างคลาสสิกคือการหาเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า หากด้านกว้างและยาวคือ $9$ และ $12$ เส้นทแยงมุมนั้นสามารถมองได้ว่าเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั่นเอง

ลองฝึกทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองคำนวณด้วยตัวเองโดยใช้ด้านประกอบมุมฉากยาว $9$ ซม. และ $12$ ซม. เริ่มจากตั้งสมการ $a^2 + b^2 = c^2$ แล้วตรวจสอบว่าคำตอบที่ได้ยาวกว่าด้านประกอบมุมฉากทั้งสองหรือไม่ หากต้องการท้าทายตัวเองมากขึ้น ให้ลองหาด้านประกอบมุมฉากเมื่อกำหนดให้ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $15$ ซม. และอีกด้านหนึ่งยาว $9$ ซม.