Teorema de Pitágoras — Fórmula y Ejercicios

El teorema de Pitágoras relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo. Si los catetos son $a$ y $b$ y la hipotenusa es $c$, entonces la fórmula es:

$a^2 + b^2 = c^2.$

Esta solo es válida cuando el triángulo tiene un ángulo de $90^\circ$. Si esta condición no se cumple, no es correcto usar el teorema.

Cómo identificar la hipotenusa y los catetos

Los catetos son los dos lados que forman el ángulo recto. La hipotenusa es el lado opuesto a dicho ángulo y, por lo tanto, es siempre el lado más largo del triángulo.

Esta identificación es importante porque la letra $c$ en la fórmula representa la hipotenusa. Si intercambias los lados de lugar, la ecuación quedará planteada de forma incorrecta.

Cómo usar la fórmula del teorema de Pitágoras

Si conoces los dos catetos y quieres hallar la hipotenusa, utiliza:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}.$

Si conoces la hipotenusa y un cateto, puedes aislar el otro:

$a = \sqrt{c^2 - b^2}$

o

$b = \sqrt{c^2 - a^2}.$

Esto solo tiene sentido si $c$ es efectivamente la hipotenusa y es mayor que el otro lado conocido.

Ejemplo resuelto: cómo encontrar la hipotenusa

Un triángulo rectángulo tiene catetos de $6$ cm y $8$ cm. ¿Cuál es la hipotenusa?

Aplicando la fórmula:

$6^2 + 8^2 = c^2.$

$36 + 64 = c^2.$

$100 = c^2.$

$c = \sqrt{100} = 10.$

Por lo tanto, la hipotenusa mide $10$ cm.

Este ejemplo es útil porque la respuesta también pasa la comprobación rápida: la hipotenusa resultó ser mayor que $6$ y $8$, tal como debe ocurrir en cualquier triángulo rectángulo.

Cómo hallar un cateto sin perderse

Si la hipotenusa mide $13$ cm y un cateto mide $5$ cm, puedes hallar el otro cateto así:

$a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144.$

$a = 12.$

Aquí el cuidado principal es no olvidar la raíz cuadrada al final. Como $a^2 = 144$, el lado es $a = 12$, y no $144$.

Errores comunes en los ejercicios

Usar la fórmula en cualquier triángulo

El teorema no es válido para todo triángulo. La condición esencial es que tenga un ángulo recto.

Confundir el cateto con la hipotenusa

La hipotenusa es siempre el lado más largo. Si llamas a un cateto "hipotenusa", plantearás la ecuación de forma errónea.

Olvidar extraer la raíz al final

Cuando la cuenta llega a algo como $c^2 = 169$, el valor del lado es $c = 13$, no $169$.

Dónde se utiliza el teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras aparece en geometría plana, problemas de distancia, construcción civil, navegación en mapas y análisis de diagonales. En muchos casos, ayuda a transformar un dibujo en un cálculo objetivo.

Un ejemplo clásico es la diagonal de un rectángulo. Si los lados miden $9$ y $12$, la diagonal puede tratarse como la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

Intenta resolver un caso similar

Prueba tu propia versión con catetos de $9$ cm y $12$ cm. Primero plantea $a^2 + b^2 = c^2$ y luego comprueba si la respuesta es mayor que los dos catetos. Si quieres ir un paso más allá, intenta hallar un cateto cuando la hipotenusa sea de $15$ cm y el otro lado sea de $9$ cm.