Teorema de Pitágoras — Fórmula e Exercícios

O teorema de Pitágoras relaciona os três lados de um triângulo retângulo. Se os catetos são $a$ e $b$ e a hipotenusa é $c$, então a fórmula é:

$$a^2 + b^2 = c^2.$$

Ela só vale quando o triângulo tem um ângulo de $90^\circ$. Se essa condição não for verdadeira, não é correto usar o teorema.

Como identificar hipotenusa e catetos

Os catetos são os dois lados que formam o ângulo reto. A hipotenusa é o lado oposto a esse ângulo e, por isso, é sempre o maior lado do triângulo.

Essa identificação importa porque a letra $c$ na fórmula representa a hipotenusa. Se você trocar os lados de lugar, a equação fica montada do jeito errado.

Como usar a fórmula do teorema de Pitágoras

Se você conhece os dois catetos e quer achar a hipotenusa, use

$$c = \sqrt{a^2 + b^2}.$$

Se conhece a hipotenusa e um cateto, pode isolar o outro:

$$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$

ou

$$b = \sqrt{c^2 - a^2}.$$

Isso só faz sentido se $c$ for mesmo a hipotenusa e maior que o outro lado conhecido.

Exemplo resolvido: como encontrar a hipotenusa

Um triângulo retângulo tem catetos de $6$ cm e $8$ cm. Qual é a hipotenusa?

Aplicando a fórmula:

$$6^2 + 8^2 = c^2.$$ $$36 + 64 = c^2.$$ $$100 = c^2.$$ $$c = \sqrt{100} = 10.$$

Logo, a hipotenusa mede $10$ cm.

Esse exemplo é útil porque a resposta também passa na checagem rápida: a hipotenusa saiu maior que $6$ e $8$, como deve acontecer em qualquer triângulo retângulo.

Como achar um cateto sem se perder

Se a hipotenusa mede $13$ cm e um cateto mede $5$ cm, você pode achar o outro cateto assim:

$$a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144.$$ $$a = 12.$$

Aqui o cuidado principal é não esquecer a raiz quadrada no fim. Como $a^2 = 144$, o lado é $a = 12$, e não $144$.

Erros comuns em exercícios

Usar a fórmula em qualquer triângulo

O teorema não vale para todo triângulo. A condição essencial é ter um ângulo reto.

Confundir cateto com hipotenusa

A hipotenusa é sempre o maior lado. Se você chamar um cateto de hipotenusa, vai montar a equação errada.

Esquecer de tirar a raiz no fim

Quando a conta chega a algo como $c^2 = 169$, o valor do lado é $c = 13$, não $169$.

Onde o teorema de Pitágoras é usado

O teorema de Pitágoras aparece em geometria plana, problemas de distância, construção civil, navegação em mapas e análise de diagonais. Em muitos casos, ele ajuda a transformar um desenho em uma conta objetiva.

Um exemplo clássico é a diagonal de um retângulo. Se os lados medem $9$ e $12$, a diagonal pode ser tratada como a hipotenusa de um triângulo retângulo.

Tente resolver um caso parecido

Tente sua própria versão com catetos de $9$ cm e $12$ cm. Primeiro monte $a^2 + b^2 = c^2$ e depois confira se a resposta ficou maior que os dois catetos. Se quiser avançar mais um passo, tente achar um cateto quando a hipotenusa for $15$ cm e o outro lado for $9$ cm.