Théorème de Pythagore — Formule et Exercices

Le théorème de Pythagore stipule que, dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des cathètes (ou côtés de l'angle droit). Si $a$ et $b$ sont les cathètes et $c$ l'hypoténuse, la formule est :

$a^2 + b^2 = c^2$

Vous ne pouvez l'utiliser que s'il y a un angle de $90^\circ$. L'hypoténuse est le côté opposé à cet angle et c'est également le côté le plus long.

Ce que dit la formule et quand l'utiliser

L'idée importante n'est pas $a + b = c$, mais la relation entre les carrés. Le théorème compare les aires associées aux côtés, c'est pourquoi apparaissent $a^2$, $b^2$ et $c^2$.

Si le triangle n'est pas rectangle, cette formule ne s'applique pas telle quelle. Cette condition est la première vérification à effectuer avant de remplacer les lettres par des nombres.

Comment identifier les cathètes et l'hypoténuse

Avant de calculer, il est conseillé de bien nommer les côtés. Cela permet d'éviter presque toutes les erreurs de mise en place.

• Cathètes : les deux côtés qui forment l'angle droit.
• Hypoténuse : le côté qui se trouve face à l'angle droit.

Si vous placez un autre côté à la place de $c$, le calcul peut sembler ordonné, mais il sera incorrect dès le départ.

Exemple résolu : trouver l'hypoténuse

Imaginons un triangle rectangle avec des cathètes de $6$ cm et $8$ cm. Nous voulons trouver l'hypoténuse.

Appliquons la formule :

$6^2 + 8^2 = c^2$

Calculons :

$36 + 64 = c^2$

Additionnons :

$100 = c^2$

Prenons la racine carrée positive :

$c = 10$

L'hypoténuse mesure $10$ cm. Le résultat est cohérent car elle doit être plus longue que $6$ cm et $8$ cm.

Erreurs courantes lors de l'application du théorème

L'erreur la plus fréquente est d'utiliser le théorème dans un triangle qui n'est pas rectangle. Sans angle droit, cette relation n'est généralement pas valable.

Une autre erreur typique est de confondre l'hypoténuse avec une cathète. Rappelez-vous que $c$ n'est pas n'importe quel côté : c'est le côté opposé à l'angle droit.

Il convient également de bien distinguer le côté que vous recherchez. Si vous voulez trouver une cathète, vous ne devez pas additionner deux carrés connus. Par exemple, si vous connaissez $c$ et $b$, alors :

$a^2 = c^2 - b^2$

Une dernière erreur consiste à s'arrêter trop tôt. Si vous arrivez à $c^2 = 100$, la longueur recherchée est $c = 10$, et non $100$.

Où utilise-t-on le théorème de Pythagore ?

Le théorème de Pythagore apparaît en géométrie de base, pour calculer les diagonales de rectangles et dans les problèmes de distance sur une grille ou dans le plan cartésien.

Par exemple, si vous avancez de $3$ unités horizontalement et de $4$ verticalement, la distance directe entre le point de départ et le point d'arrivée est :

$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

Cette même idée réapparaît plus tard dans la formule de distance entre deux points.

Ce qu'il faut retenir

Avant d'utiliser la formule, vérifiez deux choses : l'existence d'un angle droit et l'identification correcte de l'hypoténuse. Si ces conditions sont remplies, le théorème est généralement l'outil approprié.

Essayez un exercice similaire

Tentez de résoudre un triangle rectangle avec des cathètes de $5$ et $12$. Si vous appliquez correctement la formule, vous devriez obtenir une hypoténuse de $13$.

Si vous voulez aller plus loin, explorez ensuite un problème de distance entre deux points : utilisez la même idée, mais cette fois dans le plan.