Théorème de Stokes — énoncé et applications

Le théorème de Stokes affirme qu’une intégrale curviligne le long d’une courbe fermée est égale au flux de $\nabla \times \mathbf{F}$ à travers toute surface orientée bordée par cette courbe, à condition que le champ soit suffisamment régulier et que les orientations soient compatibles. S’il faut retenir une seule idée, c’est celle-ci : la circulation le long du bord et le rotationnel à travers la surface sont deux façons de mesurer la même chose.

Pour un champ de vecteurs lisse $\mathbf{F}$ défini sur une surface orientée $S$ de bord positivement orienté $\partial S$,

$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\, dS.$$

C’est l’énoncé formel. Le membre de gauche mesure la circulation le long du bord. Le membre de droite mesure le flux du rotationnel à travers la surface.

Intuition : circulation et rotationnel racontent la même histoire

Le véritable intérêt du théorème de Stokes est qu’il permet de passer à l’intégrale la plus simple. Parfois, la courbe frontière est facile à paramétrer, donc l’intégrale curviligne est la meilleure option. Parfois, le rotationnel est simple et la surface aussi, donc l’intégrale de surface est plus rapide.

L’idée essentielle est la rotation locale. Le rotationnel mesure la tendance du champ à tourner localement, tandis que l’intégrale sur le bord mesure la circulation nette le long du contour extérieur. Le théorème de Stokes dit que ces deux points de vue coïncident lorsque la surface et son bord sont orientés correctement.

Conditions à vérifier d’abord

Le théorème de Stokes n’est pas juste une formule qu’on applique à n’importe quelle figure. Il faut une surface orientée, une courbe frontière et un champ de vecteurs suffisamment régulier sur la surface et dans une région qui l’entoure.

L’orientation est la condition que les étudiants oublient le plus souvent. Une fois qu’on choisit un vecteur normal $\mathbf{n}$ sur la surface, le sens de parcours du bord est fixé par la règle de la main droite. Si la normale pointe vers le haut, alors le sens positif sur le bord est le sens trigonométrique vu d’en haut.

Si vous inversez la normale, le signe de l’intégrale de surface change. Si vous inversez le sens de parcours du bord, le signe de l’intégrale curviligne change. Si vous n’en inversez qu’un seul, votre réponse finale aura le mauvais signe.

Exemple détaillé sur le disque unité

Considérons le champ de vecteurs

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (-y,x,0).$$

Soit $S$ le disque unité $x^2 + y^2 \le 1$ dans le plan $z=0$, orienté vers le haut. Son bord $\partial S$ est le cercle unité, orienté dans le sens trigonométrique.

Commençons par le côté surface, car ici il est plus court. Calculons d’abord le rotationnel :

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial x}{\partial z}, \frac{\partial (-y)}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}, \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} \right) = (0,0,2).$$

Comme la normale unitaire est $\mathbf{n} = (0,0,1)$,

$$(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} = 2.$$

Donc l’intégrale de surface devient

$$\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\, dS = \iint_S 2\, dS = 2 \cdot \text{area}(S) = 2\pi.$$

Vérifions maintenant directement l’intégrale curviligne. Une paramétrisation standard du cercle unité est

$$\mathbf{r}(t) = (\cos t,\sin t,0), \qquad 0 \le t \le 2\pi.$$

Alors

$$\mathbf{r}'(t) = (-\sin t,\cos t,0)$$

et

$$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = (-\sin t,\cos t,0).$$

Donc

$$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = 1,$$

ce qui donne

$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^{2\pi} 1\, dt = 2\pi.$$

Les deux membres coïncident :

$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\, dS = 2\pi.$$

Cet exemple mérite d’être retenu, car la géométrie est simple et le champ tourne clairement autour de l’origine. Le théorème décrit cette rotation soit en parcourant le cercle, soit en mesurant le rotationnel à travers le disque.

Erreurs fréquentes avec le théorème de Stokes

1. Oublier de faire correspondre l’orientation du bord avec la normale choisie.
2. Utiliser le théorème de Stokes sur une surface qui n’a pas la courbe donnée pour bord.
3. Traiter le théorème comme une affirmation valable pour n’importe quel champ de vecteurs, sans vérifier les hypothèses de régularité.
4. Confondre le flux de $\mathbf{F}$ avec le flux de $\nabla \times \mathbf{F}$. Le théorème de Stokes utilise le rotationnel, pas le champ initial.
5. Penser que le théorème ne fonctionne que pour des surfaces planes. Il s’applique aussi aux surfaces courbes lorsque les conditions de régularité usuelles sont satisfaites.

Quand le théorème de Stokes est utile

En calcul vectoriel, le théorème de Stokes est utile dès que l’une des deux intégrales est beaucoup plus facile que l’autre. En mécanique des fluides, il relie la circulation autour d’un contour à la vorticité à travers une surface. En électromagnétisme, il apparaît lorsqu’on passe des formes intégrales aux formes différentielles des équations de Maxwell.

Il fournit aussi une stratégie pratique : si le bord est simple, utilisez l’intégrale curviligne. Si le rotationnel est simple et la surface facile, utilisez plutôt l’intégrale de surface.

Une façon compacte de le retenir

On peut voir le théorème de Stokes comme un pont entre circulation et rotationnel :

$$\text{circulation le long du bord} = \text{rotationnel total à travers la surface}.$$

Ce n’est pas l’énoncé formel complet, mais c’est le bon modèle mental pour les premières utilisations.

Essayez un problème similaire

Gardez le même disque unité, mais remplacez le champ par

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (-2y,2x,0).$$

Calculez le rotationnel et appliquez le théorème de Stokes avant de vérifier directement l’intégrale curviligne. C’est une bonne étape suivante, car la géométrie reste la même et vous pouvez vous concentrer sur l’effet du changement de champ sur la réponse.