스토크스 정리 — 진술과 활용

스토크스 정리는 닫힌 곡선 둘레의 선적분이, 그 곡선이 경계가 되는 임의의 방향 있는 곡면을 지나는 $\nabla \times \mathbf{F}$의 플럭스와 같다고 말합니다. 단, 벡터장이 충분히 매끄럽고 방향이 서로 맞아야 합니다. 하나만 기억한다면 이것입니다. 가장자리 둘레의 순환과 곡면을 통과하는 컬은 같은 현상을 재는 두 가지 방법입니다.

방향이 정해진 곡면 $S$ 위의 매끄러운 벡터장 $\mathbf{F}$와 양의 방향으로 정해진 경계 $\partial S$에 대해,

$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\, dS.$$

이것이 정식 진술입니다. 왼쪽은 경계를 따라 도는 순환을 측정합니다. 오른쪽은 곡면을 지나는 컬의 플럭스를 측정합니다.

직관: 순환과 컬은 같은 이야기를 한다

스토크스 정리의 진짜 가치는 더 쉬운 적분으로 바꿀 수 있다는 점입니다. 어떤 경우에는 경계 곡선을 매개화하기 쉬워서 선적분이 더 낫습니다. 또 어떤 경우에는 컬이 단순하고 곡면도 쉬워서 곡면적분이 더 빠릅니다.

핵심 직관은 국소적인 회전입니다. 컬은 벡터장이 각 점 근처에서 얼마나 회전하려는지를 나타내고, 경계 적분은 바깥 가장자리 전체를 따라 순환한 총량을 나타냅니다. 스토크스 정리는 곡면과 경계의 방향이 올바르게 맞춰져 있으면 이 두 관점이 일치한다고 말합니다.

먼저 확인해야 할 조건

스토크스 정리는 아무 그림에나 바로 적용하는 공식이 아닙니다. 방향이 있는 곡면, 그 경계 곡선, 그리고 곡면 위와 그 주변 영역에서 충분히 매끄러운 벡터장이 필요합니다.

학생들이 가장 자주 놓치는 조건은 방향입니다. 곡면 위의 법선벡터 $\mathbf{n}$을 정하면, 경계의 진행 방향은 오른손 법칙으로 자동으로 정해집니다. 법선이 위쪽을 향하면, 위에서 내려다보았을 때 양의 경계 방향은 반시계방향입니다.

법선을 뒤집으면 곡면적분의 부호가 바뀝니다. 경계 방향을 뒤집으면 선적분의 부호가 바뀝니다. 둘 중 하나만 뒤집으면 최종 답의 부호가 틀리게 됩니다.

단위원판에서의 예제

다음 벡터장을 보겠습니다.

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (-y,x,0).$$

$S$를 평면 $z=0$ 위의 단위원판 $x^2 + y^2 \le 1$이라 하고, 위쪽 방향으로 정합니다. 그 경계 $\partial S$는 반시계방향의 단위원입니다.

여기서는 곡면 쪽이 더 짧으므로 그쪽부터 시작합니다. 먼저 컬을 계산하면,

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial x}{\partial z}, \frac{\partial (-y)}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}, \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} \right) = (0,0,2).$$

단위 법선벡터가 $\mathbf{n} = (0,0,1)$이므로,

$$(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} = 2.$$

따라서 곡면적분은

$$\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\, dS = \iint_S 2\, dS = 2 \cdot \text{area}(S) = 2\pi.$$

이제 선적분도 직접 확인해 봅시다. 단위원의 표준 매개화는

$$\mathbf{r}(t) = (\cos t,\sin t,0), \qquad 0 \le t \le 2\pi.$$

그러면

$$\mathbf{r}'(t) = (-\sin t,\cos t,0)$$

이고,

$$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = (-\sin t,\cos t,0).$$

따라서

$$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = 1,$$

이므로

$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^{2\pi} 1\, dt = 2\pi.$$

양변이 일치합니다.

$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\, dS = 2\pi.$$

이 예제는 기하가 단순하고 벡터장이 원점 둘레로 분명히 회전하므로 기억해 둘 만합니다. 원을 따라 한 바퀴 도는 방식으로 보든, 원판을 통과하는 컬을 재는 방식으로 보든 정리는 같은 회전을 포착합니다.

스토크스 정리에서 자주 하는 실수

1. 선택한 법선과 경계 방향을 서로 맞추지 않는 것.
2. 주어진 곡선이 경계가 아닌 곡면에 스토크스 정리를 적용하는 것.
3. 매끄러움 조건을 확인하지 않고 아무 벡터장에나 정리를 적용하는 것.
4. $\mathbf{F}$의 플럭스와 $\nabla \times \mathbf{F}$의 플럭스를 혼동하는 것. 스토크스 정리에는 원래 벡터장이 아니라 컬이 들어갑니다.
5. 이 정리가 평평한 곡면에서만 성립한다고 생각하는 것. 표준적인 정칙성 조건이 만족되면 굽은 곡면에도 성립합니다.

스토크스 정리가 유용한 때

벡터해석에서 스토크스 정리는 두 적분 중 하나가 다른 하나보다 훨씬 쉬울 때 유용합니다. 유체역학에서는 닫힌 곡선 둘레의 순환과 곡면을 지나는 와도를 연결합니다. 전자기학에서는 맥스웰 방정식의 적분형과 미분형을 오갈 때 등장합니다.

또한 실용적인 전략도 줍니다. 경계가 단순하면 선적분을 쓰고, 컬이 단순하고 곡면이 쉬우면 곡면적분을 쓰면 됩니다.

짧게 기억하는 방법

스토크스 정리를 순환에서 컬로 가는 다리라고 생각해 보세요.

$$\text{가장자리 둘레의 순환} = \text{곡면을 지나는 전체 컬}.$$

이것이 완전한 정식 진술은 아니지만, 처음 사용할 때 갖기 좋은 올바른 사고방식입니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

같은 단위원판을 유지하되, 벡터장을 다음과 같이 바꿔 보세요.

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (-2y,2x,0).$$

먼저 컬을 계산하고 스토크스 정리를 적용한 뒤, 경계 선적분을 직접 계산해 확인해 보세요. 기하는 그대로이므로, 벡터장이 바뀌면 답이 어떻게 달라지는지에 집중하기 좋은 다음 단계입니다.