Twierdzenie Stokesa — sformułowanie i zastosowania

Twierdzenie Stokesa mówi, że całka krzywoliniowa po krzywej zamkniętej jest równa strumieniowi $\nabla \times \mathbf{F}$ przez dowolną zorientowaną powierzchnię ograniczoną przez tę krzywą, pod warunkiem że pole jest dostatecznie gładkie, a orientacje są zgodne. Jeśli masz zapamiętać jedną ideę, niech będzie to ta: cyrkulacja wzdłuż brzegu i rotacja przez powierzchnię to dwa sposoby mierzenia tego samego.

Dla gładkiego pola wektorowego $\mathbf{F}$ na zorientowanej powierzchni $S$ z dodatnio zorientowanym brzegiem $\partial S$ mamy

$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\, dS.$$

To jest formalne sformułowanie. Lewa strona mierzy cyrkulację wzdłuż brzegu. Prawa strona mierzy strumień rotacji przez powierzchnię.

Intuicja: cyrkulacja i rotacja opowiadają tę samą historię

Największa wartość twierdzenia Stokesa polega na tym, że pozwala przejść do łatwiejszej całki. Czasem krzywą brzegową łatwo sparametryzować, więc lepszą drogą jest całka krzywoliniowa. Czasem rotacja ma prostą postać, a powierzchnia jest łatwa, więc szybciej policzyć całkę powierzchniową.

Kluczową intuicją jest lokalny obrót. Rotacja mierzy skłonność pola do lokalnego wirowania, podczas gdy całka po brzegu mierzy całkowitą cyrkulację wokół zewnętrznej krawędzi. Twierdzenie Stokesa mówi, że te dwa spojrzenia dają ten sam wynik, jeśli powierzchnia i brzeg są poprawnie dopasowane.

Warunki, które trzeba najpierw sprawdzić

Twierdzenie Stokesa nie jest po prostu wzorem, który można zastosować do dowolnego rysunku. Potrzebujesz zorientowanej powierzchni, krzywej brzegowej oraz pola wektorowego, które jest dostatecznie gładkie na tej powierzchni i w jej otoczeniu.

Orientacja to warunek, który studenci najczęściej pomijają. Gdy wybierzesz wektor normalny $\mathbf{n}$ na powierzchni, kierunek obiegu brzegu jest wyznaczony przez regułę prawej dłoni. Jeśli normalna jest skierowana w górę, to dodatni kierunek na brzegu jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara, gdy patrzymy z góry.

Jeśli odwrócisz normalną, zmieni się znak całki powierzchniowej. Jeśli odwrócisz kierunek obiegu brzegu, zmieni się znak całki krzywoliniowej. Jeśli odwrócisz tylko jedno z nich, końcowy wynik będzie miał zły znak.

Przykład obliczeniowy na dysku jednostkowym

Weźmy pole wektorowe

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (-y,x,0).$$

Niech $S$ będzie dyskiem jednostkowym $x^2 + y^2 \le 1$ w płaszczyźnie $z=0$, z orientacją ku górze. Jego brzeg $\partial S$ to okrąg jednostkowy, zorientowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Zacznijmy od strony powierzchniowej, bo tutaj jest krótsza. Najpierw obliczamy rotację:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial x}{\partial z}, \frac{\partial (-y)}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}, \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} \right) = (0,0,2).$$

Ponieważ wektor normalny jednostkowy to $\mathbf{n} = (0,0,1)$,

$$(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} = 2.$$

Zatem całka powierzchniowa ma postać

$$\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\, dS = \iint_S 2\, dS = 2 \cdot \text{area}(S) = 2\pi.$$

Teraz sprawdźmy bezpośrednio całkę krzywoliniową. Standardową parametryzacją okręgu jednostkowego jest

$$\mathbf{r}(t) = (\cos t,\sin t,0), \qquad 0 \le t \le 2\pi.$$

Wtedy

$$\mathbf{r}'(t) = (-\sin t,\cos t,0)$$

oraz

$$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = (-\sin t,\cos t,0).$$

Zatem

$$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = 1,$$

co daje

$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^{2\pi} 1\, dt = 2\pi.$$

Obie strony się zgadzają:

$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\, dS = 2\pi.$$

Warto zapamiętać ten przykład, ponieważ geometria jest prosta, a pole wyraźnie wiruje wokół początku układu. Twierdzenie ujmuje ten obrót albo przez przejście wokół okręgu, albo przez pomiar rotacji przez dysk.

Typowe błędy przy twierdzeniu Stokesa

1. Zapomnienie o dopasowaniu orientacji brzegu do wybranej normalnej.
2. Stosowanie twierdzenia Stokesa do powierzchni, która nie ma danej krzywej jako brzegu.
3. Traktowanie twierdzenia jak stwierdzenia o dowolnym polu wektorowym bez sprawdzenia założeń o gładkości.
4. Mylenie strumienia $\mathbf{F}$ ze strumieniem $\nabla \times \mathbf{F}$. Twierdzenie Stokesa używa rotacji, a nie pierwotnego pola.
5. Myślenie, że twierdzenie działa tylko dla powierzchni płaskich. Działa także dla powierzchni zakrzywionych, jeśli spełnione są standardowe warunki regularności.

Kiedy twierdzenie Stokesa jest użyteczne

W analizie wektorowej twierdzenie Stokesa jest użyteczne zawsze wtedy, gdy jedna z dwóch całek jest znacznie łatwiejsza od drugiej. W mechanice płynów łączy cyrkulację wokół pętli z wirowością przez powierzchnię. W elektromagnetyzmie pojawia się przy przechodzeniu między całkowymi i różniczkowymi postaciami równań Maxwella.

Daje też praktyczną strategię: jeśli brzeg jest prosty, użyj całki krzywoliniowej. Jeśli rotacja jest prosta, a powierzchnia łatwa, użyj zamiast tego całki powierzchniowej.

Krótki sposób, by to zapamiętać

Myśl o twierdzeniu Stokesa jak o moście między cyrkulacją a rotacją:

$$\text{cyrkulacja wokół brzegu} = \text{całkowita rotacja przez powierzchnię}.$$

To nie jest pełne formalne sformułowanie, ale dla większości pierwszych zastosowań jest to właściwy model myślowy.

Spróbuj podobnego zadania

Zachowaj ten sam dysk jednostkowy, ale zmień pole na

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (-2y,2x,0).$$

Oblicz rotację i zastosuj twierdzenie Stokesa, zanim bezpośrednio sprawdzisz całkę po brzegu. To dobry kolejny krok, bo geometria się nie zmienia, więc możesz skupić się na tym, jak zmiana pola wpływa na wynik.