Định lý Stokes — Phát biểu và ứng dụng

Định lý Stokes nói rằng tích phân đường quanh một đường cong kín bằng thông lượng của $\nabla \times \mathbf{F}$ qua bất kỳ mặt có hướng nào bị chặn bởi đường cong đó, miễn là trường đủ trơn và các hướng khớp nhau. Nếu chỉ nhớ một ý, hãy nhớ điều này: độ lưu thông quanh biên và xoáy đi qua mặt là hai cách đo cùng một hiện tượng.

Với một trường vectơ trơn $\mathbf{F}$ trên một mặt có hướng $S$ có biên định hướng dương $\partial S$,

$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\, dS.$$

Đây là phát biểu chính thức. Vế trái đo độ lưu thông dọc theo biên. Vế phải đo thông lượng của xoáy qua mặt.

Trực giác: độ lưu thông và xoáy kể cùng một câu chuyện

Giá trị thực sự của định lý Stokes là nó cho phép bạn chuyển sang tích phân dễ hơn. Đôi khi đường cong biên dễ tham số hóa, nên tích phân đường là cách tốt hơn. Đôi khi xoáy đơn giản và mặt cũng dễ xử lý, nên tích phân mặt sẽ nhanh hơn.

Trực giác cốt lõi là sự quay cục bộ. Xoáy đo xu hướng quay cục bộ của trường, còn tích phân trên biên đo tổng độ lưu thông quanh mép ngoài. Định lý Stokes nói rằng hai cách nhìn này trùng nhau khi mặt và biên được ghép hướng đúng cách.

Những điều kiện cần kiểm tra trước

Định lý Stokes không chỉ là một công thức có thể áp vào mọi hình vẽ. Bạn cần một mặt có hướng, một đường cong biên và một trường vectơ đủ trơn trên mặt cũng như trong một vùng xung quanh nó.

Hướng là điều kiện mà sinh viên hay bỏ sót nhất. Khi bạn đã chọn một vectơ pháp tuyến $\mathbf{n}$ trên mặt, chiều đi trên biên được xác định bởi quy tắc bàn tay phải. Nếu pháp tuyến hướng lên trên, thì chiều dương trên biên là ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ trên xuống.

Nếu bạn đảo chiều pháp tuyến, dấu của tích phân mặt sẽ đổi. Nếu bạn đảo chiều đi trên biên, dấu của tích phân đường sẽ đổi. Nếu chỉ đảo một trong hai, đáp án cuối cùng sẽ sai dấu.

Ví dụ có lời giải trên đĩa đơn vị

Xét trường vectơ

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (-y,x,0).$$

Gọi $S$ là đĩa đơn vị $x^2 + y^2 \le 1$ trong mặt phẳng $z=0$, được định hướng lên trên. Biên của nó $\partial S$ là đường tròn đơn vị, định hướng ngược chiều kim đồng hồ.

Hãy bắt đầu từ phía tích phân mặt, vì ở đây cách đó ngắn hơn. Trước hết tính xoáy:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial x}{\partial z}, \frac{\partial (-y)}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}, \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} \right) = (0,0,2).$$

Vì vectơ pháp tuyến đơn vị là $\mathbf{n} = (0,0,1)$,

$$(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} = 2.$$

Do đó tích phân mặt trở thành

$$\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\, dS = \iint_S 2\, dS = 2 \cdot \text{area}(S) = 2\pi.$$

Bây giờ kiểm tra trực tiếp tích phân đường. Một tham số hóa chuẩn của đường tròn đơn vị là

$$\mathbf{r}(t) = (\cos t,\sin t,0), \qquad 0 \le t \le 2\pi.$$

Khi đó

$$\mathbf{r}'(t) = (-\sin t,\cos t,0)$$

và

$$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = (-\sin t,\cos t,0).$$

Vì thế

$$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = 1,$$

suy ra

$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^{2\pi} 1\, dt = 2\pi.$$

Hai vế trùng nhau:

$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\, dS = 2\pi.$$

Ví dụ này rất đáng nhớ vì hình học đơn giản và trường quay rõ ràng quanh gốc tọa độ. Định lý mô tả sự quay đó theo hai cách: либо đi quanh đường tròn, либо đo xoáy xuyên qua đĩa.

Những lỗi thường gặp với định lý Stokes

1. Quên khớp hướng của biên với pháp tuyến đã chọn.
2. Dùng định lý Stokes cho một mặt không có đường cong đã cho làm biên.
3. Xem định lý như một mệnh đề đúng với mọi trường vectơ mà không kiểm tra giả thiết về tính trơn.
4. Nhầm thông lượng của $\mathbf{F}$ với thông lượng của $\nabla \times \mathbf{F}$. Định lý Stokes dùng xoáy, không phải trường ban đầu.
5. Nghĩ rằng định lý chỉ áp dụng cho mặt phẳng. Nó cũng đúng cho các mặt cong khi các điều kiện chính quy tiêu chuẩn được thỏa mãn.

Khi nào định lý Stokes hữu ích

Trong giải tích vectơ, định lý Stokes hữu ích bất cứ khi nào một trong hai tích phân dễ tính hơn nhiều so với tích phân còn lại. Trong cơ học chất lưu, nó nối độ lưu thông quanh một vòng kín với độ xoáy xuyên qua một mặt. Trong điện từ học, nó xuất hiện khi chuyển giữa các phát biểu tích phân và vi phân của các phương trình Maxwell.

Nó cũng cho một chiến lược thực tế: nếu biên đơn giản, hãy dùng tích phân đường. Nếu xoáy đơn giản và mặt dễ xử lý, hãy dùng tích phân mặt thay thế.

Cách nhớ ngắn gọn

Hãy xem định lý Stokes như một cây cầu nối từ độ lưu thông đến xoáy:

$$\text{độ lưu thông quanh biên} = \text{tổng xoáy đi qua mặt}.$$

Đó không phải là phát biểu hình thức đầy đủ, nhưng là mô hình tư duy đúng cho phần lớn những lần sử dụng đầu tiên.

Thử một bài tương tự

Giữ nguyên đĩa đơn vị, nhưng đổi trường thành

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (-2y,2x,0).$$

Hãy tính xoáy và dùng định lý Stokes trước khi kiểm tra trực tiếp tích phân đường. Đây là bước tiếp theo tốt vì hình học không đổi, nên bạn có thể tập trung vào việc thay đổi trường sẽ làm thay đổi đáp án như thế nào.