Θεώρημα του Stokes — Διατύπωση και Εφαρμογές

Το θεώρημα του Stokes λέει ότι ένα επικαμπύλιο ολοκλήρωμα γύρω από μια κλειστή καμπύλη ισούται με τη ροή του $\nabla \times \mathbf{F}$ μέσω οποιασδήποτε προσανατολισμένης επιφάνειας που ορίζεται από αυτή την καμπύλη, αρκεί το πεδίο να είναι αρκετά ομαλό και οι προσανατολισμοί να ταιριάζουν. Αν θέλετε να θυμάστε μία μόνο ιδέα, θυμηθείτε αυτή: η κυκλοφορία γύρω από το άκρο και ο στροβιλισμός μέσω της επιφάνειας είναι δύο τρόποι να μετρήσουμε το ίδιο πράγμα.

Για ένα ομαλό διανυσματικό πεδίο $\mathbf{F}$ σε μια προσανατολισμένη επιφάνεια $S$ με θετικά προσανατολισμένο σύνορο $\partial S$,

$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\, dS.$$

Αυτή είναι η τυπική διατύπωση. Το αριστερό μέλος μετρά την κυκλοφορία κατά μήκος του συνόρου. Το δεξί μέλος μετρά τη ροή του στροβιλισμού μέσω της επιφάνειας.

Διαίσθηση: η κυκλοφορία και ο στροβιλισμός λένε την ίδια ιστορία

Η πραγματική αξία του θεωρήματος του Stokes είναι ότι σας επιτρέπει να περάσετε στο ευκολότερο ολοκλήρωμα. Μερικές φορές η καμπύλη του συνόρου παραμετροποιείται εύκολα, οπότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα είναι η καλύτερη επιλογή. Άλλες φορές ο στροβιλισμός είναι απλός και η επιφάνεια εύκολη, οπότε το επιφανειακό ολοκλήρωμα είναι ταχύτερο.

Η βασική διαίσθηση είναι η τοπική περιστροφή. Ο στροβιλισμός μετρά την τάση του πεδίου να περιστρέφεται τοπικά, ενώ το ολοκλήρωμα στο σύνορο μετρά τη συνολική κυκλοφορία γύρω από το εξωτερικό άκρο. Το θεώρημα του Stokes λέει ότι αυτές οι δύο οπτικές συμφωνούν όταν η επιφάνεια και το σύνορο έχουν αντιστοιχιστεί σωστά.

Συνθήκες που πρέπει πρώτα να ελέγξετε

Το θεώρημα του Stokes δεν είναι απλώς ένας τύπος που εφαρμόζετε σε οποιοδήποτε σχήμα. Χρειάζεστε μια προσανατολισμένη επιφάνεια, μια καμπύλη συνόρου και ένα διανυσματικό πεδίο που να είναι αρκετά ομαλό πάνω στην επιφάνεια και σε μια περιοχή γύρω από αυτή.

Ο προσανατολισμός είναι η συνθήκη που οι φοιτητές παραλείπουν πιο συχνά. Μόλις επιλέξετε ένα κάθετο διάνυσμα $\mathbf{n}$ στην επιφάνεια, η φορά του συνόρου καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Αν το κάθετο διάνυσμα δείχνει προς τα πάνω, τότε η θετική φορά του συνόρου είναι αριστερόστροφη όταν το βλέπουμε από πάνω.

Αν αντιστρέψετε το κάθετο διάνυσμα, αλλάζει το πρόσημο του επιφανειακού ολοκληρώματος. Αν αντιστρέψετε τη φορά του συνόρου, αλλάζει το πρόσημο του επικαμπύλιου ολοκληρώματος. Αν αντιστρέψετε μόνο το ένα από τα δύο, η τελική απάντηση θα έχει λάθος πρόσημο.

Λυμένο παράδειγμα στον μοναδιαίο δίσκο

Πάρτε το διανυσματικό πεδίο

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (-y,x,0).$$

Έστω $S$ ο μοναδιαίος δίσκος $x^2 + y^2 \le 1$ στο επίπεδο $z=0$, με προσανατολισμό προς τα πάνω. Το σύνορό του $\partial S$ είναι ο μοναδιαίος κύκλος, με αριστερόστροφο προσανατολισμό.

Ξεκινάμε από την πλευρά της επιφάνειας, γιατί εδώ είναι συντομότερη. Πρώτα υπολογίζουμε τον στροβιλισμό:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial x}{\partial z}, \frac{\partial (-y)}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}, \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} \right) = (0,0,2).$$

Επειδή το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα είναι $\mathbf{n} = (0,0,1)$,

$$(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} = 2.$$

Άρα το επιφανειακό ολοκλήρωμα γίνεται

$$\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\, dS = \iint_S 2\, dS = 2 \cdot \text{area}(S) = 2\pi.$$

Τώρα επαληθεύουμε άμεσα το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα. Μια τυπική παραμετροποίηση του μοναδιαίου κύκλου είναι

$$\mathbf{r}(t) = (\cos t,\sin t,0), \qquad 0 \le t \le 2\pi.$$

Τότε

$$\mathbf{r}'(t) = (-\sin t,\cos t,0)$$

και

$$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = (-\sin t,\cos t,0).$$

Άρα

$$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = 1,$$

οπότε παίρνουμε

$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^{2\pi} 1\, dt = 2\pi.$$

Οι δύο πλευρές συμπίπτουν:

$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\, dS = 2\pi.$$

Αξίζει να θυμάστε αυτό το παράδειγμα, γιατί η γεωμετρία είναι απλή και το πεδίο περιστρέφεται καθαρά γύρω από την αρχή. Το θεώρημα αποτυπώνει αυτή την περιστροφή είτε διατρέχοντας τον κύκλο είτε μετρώντας τον στροβιλισμό μέσω του δίσκου.

Συνηθισμένα λάθη στο θεώρημα του Stokes

1. Να ξεχνάτε να ταιριάξετε τον προσανατολισμό του συνόρου με το επιλεγμένο κάθετο διάνυσμα.
2. Να εφαρμόζετε το θεώρημα του Stokes σε επιφάνεια που δεν έχει ως σύνορο τη δοσμένη καμπύλη.
3. Να αντιμετωπίζετε το θεώρημα σαν να ισχύει για οποιοδήποτε διανυσματικό πεδίο, χωρίς να ελέγχετε τις υποθέσεις ομαλότητας.
4. Να συγχέετε τη ροή του $\mathbf{F}$ με τη ροή του $\nabla \times \mathbf{F}$. Το θεώρημα του Stokes χρησιμοποιεί τον στροβιλισμό, όχι το αρχικό πεδίο.
5. Να νομίζετε ότι το θεώρημα ισχύει μόνο για επίπεδες επιφάνειες. Ισχύει επίσης για καμπύλες επιφάνειες όταν ικανοποιούνται οι συνήθεις συνθήκες κανονικότητας.

Πότε είναι χρήσιμο το θεώρημα του Stokes

Στον διανυσματικό λογισμό, το θεώρημα του Stokes είναι χρήσιμο κάθε φορά που ένα από τα δύο ολοκληρώματα είναι πολύ ευκολότερο από το άλλο. Στη μηχανική ρευστών, συνδέει την κυκλοφορία γύρω από έναν βρόχο με τη στροβιλότητα μέσω μιας επιφάνειας. Στον ηλεκτρομαγνητισμό, εμφανίζεται όταν περνάμε από τις ολοκληρωτικές στις διαφορικές μορφές των εξισώσεων του Maxwell.

Δίνει επίσης μια πρακτική στρατηγική: αν το σύνορο είναι απλό, χρησιμοποιήστε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα. Αν ο στροβιλισμός είναι απλός και η επιφάνεια εύκολη, χρησιμοποιήστε αντ’ αυτού το επιφανειακό ολοκλήρωμα.

Ένας σύντομος τρόπος να το θυμάστε

Σκεφτείτε το θεώρημα του Stokes ως μια γέφυρα από την κυκλοφορία στον στροβιλισμό:

$$\text{κυκλοφορία γύρω από το άκρο} = \text{συνολικός στροβιλισμός μέσω της επιφάνειας}.$$

Αυτή δεν είναι η πλήρης τυπική διατύπωση, αλλά είναι το σωστό νοητικό μοντέλο για τις περισσότερες πρώτες εφαρμογές.

Δοκιμάστε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Κρατήστε τον ίδιο μοναδιαίο δίσκο, αλλά αλλάξτε το πεδίο σε

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (-2y,2x,0).$$

Υπολογίστε τον στροβιλισμό και χρησιμοποιήστε το θεώρημα του Stokes πριν ελέγξετε άμεσα το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα. Είναι ένα καλό επόμενο βήμα, γιατί η γεωμετρία μένει σταθερή, οπότε μπορείτε να εστιάσετε στο πώς η αλλαγή του πεδίου αλλάζει την απάντηση.