ทฤษฎีบทของสโตกส์ — นิยามและการประยุกต์

ทฤษฎีบทของสโตกส์กล่าวว่า อินทิกรัลเส้นรอบเส้นโค้งปิดมีค่าเท่ากับฟลักซ์ของ $\nabla \times \mathbf{F}$ ผ่านผิวใด ๆ ที่มีการกำหนดทิศทางและมีเส้นโค้งนั้นเป็นขอบเขต โดยมีเงื่อนไขว่าสนามมีความเรียบเพียงพอและทิศทางสอดคล้องกัน ถ้าจะจำเพียงแนวคิดเดียว ให้จำสิ่งนี้ไว้: การไหลวนรอบขอบและเคิร์ลผ่านผิวเป็นสองวิธีในการวัดสิ่งเดียวกัน

สำหรับสนามเวกเตอร์เรียบ $\mathbf{F}$ บนผิวที่มีการกำหนดทิศทาง $S$ และมีเส้นขอบ $\partial S$ ที่กำหนดทิศทางบวก เรามีว่า

$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\, dS.$$

นี่คือข้อความอย่างเป็นทางการของทฤษฎีบท ด้านซ้ายวัดการไหลวนตามเส้นขอบ ด้านขวาวัดฟลักซ์ของเคิร์ลผ่านผิว

มุมมองเชิงสัญชาตญาณ: การไหลวนและเคิร์ลเล่าเรื่องเดียวกัน

คุณค่าที่แท้จริงของทฤษฎีบทของสโตกส์คือ มันช่วยให้คุณเปลี่ยนไปใช้อินทิกรัลที่คำนวณง่ายกว่า บางครั้งเส้นขอบพารามิเตอร์ได้ง่าย ดังนั้นอินทิกรัลเส้นจึงเป็นทางเลือกที่ดีกว่า บางครั้งเคิร์ลง่ายและผิวก็จัดการได้สะดวก ดังนั้นอินทิกรัลผิวจะเร็วกว่า

สัญชาตญาณสำคัญคือการหมุนในระดับเฉพาะที่ เคิร์ลวัดแนวโน้มของสนามที่จะหมุนในบริเวณเล็ก ๆ ขณะที่อินทิกรัลตามเส้นขอบวัดการไหลวนสุทธิรอบขอบด้านนอก ทฤษฎีบทของสโตกส์บอกว่ามุมมองทั้งสองนี้ให้คำตอบตรงกัน เมื่อผิวและเส้นขอบถูกจับคู่ทิศทางอย่างถูกต้อง

เงื่อนไขที่ต้องตรวจสอบก่อน

ทฤษฎีบทของสโตกส์ไม่ใช่แค่สูตรที่ใช้กับรูปใดก็ได้ คุณต้องมีผิวที่มีการกำหนดทิศทาง มีเส้นขอบ และมีสนามเวกเตอร์ที่เรียบเพียงพอบนผิวและในบริเวณรอบผิวนั้น

เรื่องทิศทางเป็นเงื่อนไขที่นักเรียนพลาดบ่อยที่สุด เมื่อคุณเลือกเวกเตอร์ตั้งฉาก $\mathbf{n}$ บนผิวแล้ว ทิศทางของเส้นขอบจะถูกกำหนดโดยกฎมือขวา ถ้าเวกเตอร์ตั้งฉากชี้ขึ้น ทิศทางบวกของเส้นขอบจะเป็นทวนเข็มนาฬิกาเมื่อมองจากด้านบน

ถ้าคุณกลับทิศของเวกเตอร์ตั้งฉาก เครื่องหมายของอินทิกรัลผิวจะเปลี่ยน ถ้าคุณกลับทิศของเส้นขอบ เครื่องหมายของอินทิกรัลเส้นจะเปลี่ยน ถ้าคุณกลับเพียงอย่างเดียว คำตอบสุดท้ายจะได้เครื่องหมายผิด

ตัวอย่างทำบนจานวงกลมหนึ่งหน่วย

พิจารณาสนามเวกเตอร์

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (-y,x,0).$$

ให้ $S$ เป็นจานวงกลมหนึ่งหน่วย $x^2 + y^2 \le 1$ ในระนาบ $z=0$ และกำหนดทิศทางขึ้นด้านบน เส้นขอบ $\partial S$ คือวงกลมหนึ่งหน่วย โดยมีทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

เริ่มจากด้านของอินทิกรัลผิว เพราะในที่นี้สั้นกว่า ก่อนอื่นคำนวณเคิร์ล:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial x}{\partial z}, \frac{\partial (-y)}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}, \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} \right) = (0,0,2).$$

เนื่องจากเวกเตอร์ตั้งฉากหนึ่งหน่วยคือ $\mathbf{n} = (0,0,1)$

$$(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} = 2.$$

ดังนั้นอินทิกรัลผิวจึงเป็น

$$\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\, dS = \iint_S 2\, dS = 2 \cdot \text{area}(S) = 2\pi.$$

ตอนนี้ตรวจสอบอินทิกรัลเส้นโดยตรง พารามิเตอร์มาตรฐานของวงกลมหนึ่งหน่วยคือ

$$\mathbf{r}(t) = (\cos t,\sin t,0), \qquad 0 \le t \le 2\pi.$$

ดังนั้น

$$\mathbf{r}'(t) = (-\sin t,\cos t,0)$$

และ

$$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = (-\sin t,\cos t,0).$$

จึงได้ว่า

$$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = 1,$$

ซึ่งให้

$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^{2\pi} 1\, dt = 2\pi.$$

ทั้งสองด้านตรงกัน:

$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\, dS = 2\pi.$$

ตัวอย่างนี้ควรค่าแก่การจดจำ เพราะเรขาคณิตเรียบง่ายและสนามแสดงการหมุนรอบจุดกำเนิดอย่างชัดเจน ทฤษฎีบทนี้จับการหมุนนั้นได้ทั้งจากการเดินรอบวงกลม หรือจากการวัดเคิร์ลผ่านจานวงกลม

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในทฤษฎีบทของสโตกส์

1. ลืมทำให้ทิศทางของเส้นขอบสอดคล้องกับเวกเตอร์ตั้งฉากที่เลือก
2. ใช้ทฤษฎีบทของสโตกส์กับผิวที่ไม่ได้มีเส้นโค้งที่กำหนดเป็นเส้นขอบ
3. มองว่าทฤษฎีบทนี้ใช้ได้กับสนามเวกเตอร์ใดก็ได้ โดยไม่ตรวจสอบสมมติฐานเรื่องความเรียบ
4. สับสนระหว่างฟลักซ์ของ $\mathbf{F}$ กับฟลักซ์ของ $\nabla \times \mathbf{F}$ ทฤษฎีบทของสโตกส์ใช้เคิร์ล ไม่ใช่สนามเดิม
5. คิดว่าทฤษฎีบทนี้ใช้ได้เฉพาะกับผิวแบน ที่จริงแล้วใช้ได้กับผิวโค้งด้วย เมื่อเงื่อนไขความเป็นปรกติมาตรฐานเป็นจริง

ทฤษฎีบทของสโตกส์มีประโยชน์เมื่อใด

ในแคลคูลัสเวกเตอร์ ทฤษฎีบทของสโตกส์มีประโยชน์เมื่ออินทิกรัลหนึ่งในสองด้านคำนวณได้ง่ายกว่าอีกด้านมาก ในกลศาสตร์ของไหล มันเชื่อมการไหลวนรอบลูปเข้ากับวอร์ติซิตีผ่านผิว ในแม่เหล็กไฟฟ้า มันปรากฏเมื่อเปลี่ยนไปมาระหว่างรูปแบบอินทิกรัลและรูปแบบเชิงอนุพันธ์ของสมการแมกซ์เวลล์

มันยังให้กลยุทธ์ที่ใช้ได้จริงด้วย: ถ้าเส้นขอบง่าย ให้ใช้อินทิกรัลเส้น ถ้าเคิร์ลง่ายและผิวจัดการสะดวก ให้ใช้อินทิกรัลผิวแทน

วิธีจำแบบสั้นกระชับ

ให้คิดว่าทฤษฎีบทของสโตกส์เป็นสะพานจากการไหลวนไปสู่เคิร์ล:

$$\text{การไหลวนรอบขอบ} = \text{เคิร์ลรวมผ่านผิว}.$$

นี่ไม่ใช่ข้อความอย่างเป็นทางการทั้งหมด แต่เป็นภาพจำที่ถูกต้องสำหรับการใช้งานครั้งแรกในหลายกรณี

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ใช้จานวงกลมหนึ่งหน่วยเดิม แต่เปลี่ยนสนามเป็น

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (-2y,2x,0).$$

คำนวณเคิร์ลและใช้ทฤษฎีบทของสโตกส์ก่อน แล้วค่อยตรวจสอบอินทิกรัลเส้นโดยตรง นี่เป็นขั้นต่อไปที่ดี เพราะเรขาคณิตยังคงเดิม คุณจึงโฟกัสได้เต็มที่ว่าการเปลี่ยนสนามทำให้คำตอบเปลี่ยนอย่างไร