Suite de Fibonacci — Motif, formule et nombre d’or

La suite de Fibonacci est une suite de nombres dans laquelle chaque terme est la somme des deux précédents. En utilisant la convention courante $F_0 = 0$ et $F_1 = 1$, la règle est

$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \qquad (n \ge 2)$$

donc la suite commence par

$$0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\dots$$

Si vous avez seulement besoin de l’idée principale, la voici : on part de deux valeurs, puis on additionne toujours les deux précédentes pour obtenir la suivante.

Ce qu’est la suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci est définie par une relation de récurrence. Cela signifie que chaque nouveau terme est construit à partir des termes précédents, et non à partir d’une seule règle directe appliquée une fois.

Cette suite dépend de la convention de départ. Beaucoup de manuels utilisent $F_0 = 0$ et $F_1 = 1$. D’autres utilisent $F_1 = 1$ et $F_2 = 1$. Le motif numérique est le même, mais les indices sont décalés, donc vérifiez toujours l’indexation avant de comparer des réponses.

Formule de la suite de Fibonacci

La formule principale est la récurrence :

$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$$

Elle dit que chaque terme provient des deux précédents. Par exemple,

$$F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$$

Il existe aussi une forme explicite, souvent appelée formule de Binet. Avec la convention $F_0 = 0$ et $F_1 = 1$,

$$F_n = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$$

où

$$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \qquad \psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Pour la plupart des élèves, la récurrence est le meilleur point de départ. La formule de Binet est utile parce qu’elle relie les nombres de Fibonacci aux puissances et au nombre d’or, mais vous n’en avez pas besoin pour générer les termes.

Pourquoi les rapports de Fibonacci approchent le nombre d’or

Pour les termes positifs de Fibonacci, le rapport de deux termes consécutifs se rapproche du nombre d’or :

$$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$$

Plus précisément, si l’on regarde

$$\frac{F_{n+1}}{F_n}$$

pour des valeurs de $n$ de plus en plus grandes avec $F_n \ne 0$, le rapport approche $\phi$. Cela ne veut pas dire que chaque rapport est égal à $\phi$. Cela signifie que les rapports convergent vers $\phi$ quand $n$ devient plus grand.

Exemple détaillé : trouver $F_8$

Utilisez la récurrence pour trouver $F_8$, puis vérifiez un rapport voisin.

Commencez par

$$F_0 = 0,\qquad F_1 = 1$$

Puis avancez étape par étape :

$$F_2 = 1,\quad F_3 = 2,\quad F_4 = 3,\quad F_5 = 5,\quad F_6 = 8,\quad F_7 = 13,\quad F_8 = 21$$

Donc

$$F_8 = 21$$

Comparez maintenant un rapport de termes consécutifs :

$$\frac{F_8}{F_7} = \frac{21}{13} \approx 1.615$$

C’est proche de

$$\phi \approx 1.618$$

Voilà le lien essentiel : les nombres de Fibonacci sont des entiers, mais les rapports de termes consécutifs se rapprochent du nombre d’or.

Erreurs fréquentes avec la suite de Fibonacci

Confondre l’indice de départ

Si une source commence avec $F_0 = 0, F_1 = 1$ et une autre avec $F_1 = 1, F_2 = 1$, la même étiquette de terme peut désigner des nombres différents. Vérifiez toujours la convention d’abord.

Penser que le rapport est toujours exactement le nombre d’or

Le rapport $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ approche $\phi$ pour les grandes valeurs de $n$, mais les premiers rapports ne sont que des approximations. Par exemple, $\frac{5}{3} \approx 1.667$, ce qui n’est pas égal à $\phi$.

Utiliser la récurrence sans deux valeurs initiales

La règle a besoin de deux termes initiaux. Sans eux, la suite n’est pas complètement déterminée.

Considérer tout « motif croissant » comme une suite de Fibonacci

Un motif n’est une suite de Fibonacci que si chaque terme est bien la somme des deux précédents, selon une convention de départ donnée. Des listes qui se ressemblent ne suffisent pas.

Quand la suite de Fibonacci est utilisée

La suite de Fibonacci apparaît dans des problèmes de dénombrement où chaque cas peut être construit à partir des deux cas précédents. C’est aussi un exemple classique en algèbre, en mathématiques discrètes, en algorithmique et dans les démonstrations par récurrence.

Elle est importante au-delà de ce seul sujet parce qu’elle enseigne trois idées à la fois : définition récursive, forme explicite et comportement limite. C’est cette combinaison qui explique pourquoi elle apparaît si souvent dans les cours de mathématiques.

Essayez votre propre version

Écrivez la suite jusqu’à $F_{10}$, puis calculez $\frac{F_{10}}{F_9}$. Comparez votre résultat avec $\phi \approx 1.618$.

Si vous voulez un cas de plus ensuite, essayez votre propre version avec un autre indice cible et voyez à quelle vitesse le rapport se stabilise.