数列と級数 — 等差数列・等比数列・調和数列と収束

数列とは、数を順序よく並べたものです。級数とは、その数列の項を足し合わせてできるものです。このトピックでは、AP は等差数列、GP は等比数列、HP は調和数列を表し、収束とは項や部分和が有限の値に近づくかどうかを考えることです。

手短に言えば、AP は差が一定、GP は比が一定、HP は逆数をとると等差数列になる数列です。無限等比級数の和が存在するのは、$|r| < 1$ のときだけです。

数列と級数の違い：何を求める問題かを見極める

次のように並べると

$$2,\ 5,\ 8,\ 11,\dots$$

これは数列です。次のように和を書くと

$$2 + 5 + 8 + 11 + \dots$$

これは級数です。

この違いによって、使う道具が決まります。「第 $n$ 項を求める」は数列の問題です。「最初の $n$ 項の和を求める」は級数の問題です。

等差数列・等比数列・調和数列：各パターンの見分け方

等差数列（AP）

等差数列は、各段階で同じだけ増減する数列です。初項を $a$、公差を $d$ とすると、

$$a_n = a + (n-1)d$$

となり、最初の $n$ 項の和は

$$S_n = \frac{n}{2}\left[2a + (n-1)d\right]$$

または同値な形で

$$S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$$

です。

例：$4, 7, 10, 13, \dots$ は、各項が $3$ ずつ増えるので等差数列です。

等比数列（GP）

等比数列は、各段階で同じ倍率をかけて変化する数列です。初項を $a$、公比を $r$ とすると、

$$a_n = ar^{n-1}$$

となり、$r \ne 1$ のとき

$$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

です。

無限等比級数では、和が存在するのは $|r| < 1$ のときだけです。その場合、

$$S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$$

となります。

例：$3, 6, 12, 24, \dots$ は、各項が $2$ 倍されているので等比数列です。

調和数列（HP）

調和数列は、逆数によって定義されます。0 でない数列 $a_1, a_2, a_3, \dots$ が HP であるとは、

$$\frac{1}{a_1},\ \frac{1}{a_2},\ \frac{1}{a_3},\dots$$

が等差数列になることです。

したがって、

$$\frac{1}{a_n} = A + (n-1)d$$

で、分母が 0 でないなら、

$$a_n = \frac{1}{A + (n-1)d}$$

となります。

例：$\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \dots$ は、その逆数 $2, 4, 6, 8, \dots$ が等差数列なので調和数列です。

調和数列は、学校数学では主に分類の考え方として扱われます。等差数列や等比数列と違って、基本問題で広く使う標準的な初等的和の公式があるわけではありません。

収束：無限の過程が有限の極限をもつとき

数列が収束するとは、その項がある一定の極限に近づくことです。

たとえば、

$$\frac{1}{n} \to 0 \quad \text{as } n \to \infty$$

なので、数列 $\left(\frac{1}{n}\right)$ は $0$ に収束します。

級数が収束するとは、その部分和がある一定の極限に近づくことです。もし

$$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$$

で、$S_n$ がある有限の値 $S$ に近づくなら、その無限級数は $S$ に収束します。

ここは多くの学習者が見落としやすい点です。数列が収束しても、その項を並べた級数が自動的に収束するわけではありません。項が $0$ に近づくことは級数の収束に必要ですが、それだけでは十分ではありません。

たとえば、調和数列

$$1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\dots$$

は、項の数列としては $0$ に収束します。しかし、調和級数

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots$$

は有限の和に収束しません。

例題：等比数列を判定し、無限級数の和を求める

次の無限等比級数を考えます。

$$6 + 3 + \frac{3}{2} + \frac{3}{4} + \dots$$

これは次の等比数列からできています。

$$6,\ 3,\ \frac{3}{2},\ \frac{3}{4},\dots$$

ここで初項は $a = 6$、公比は

$$r = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

です。

$|r| = \frac{1}{2} < 1$ なので、この無限級数は収束します。その和は

$$S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = \frac{6}{1-\frac{1}{2}} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12$$

です。

重要なのは、公式を使う前に条件を確認することです。$|r| < 1$ なら無限等比級数は収束します。$|r| \ge 1$ なら、有限の和には収束しません。

数列・級数・収束でよくある間違い

項と和を混同する

第 $5$ 項 $a_5$ と、第 $5$ 項までの和 $S_5$ は同じ種類の答えではありません。前者は数列の1項で、後者は合計です。

等比数列に差の判定を使う

規則が「$2$ 倍する」なら、数が着実に増えていても等比数列です。差が一定であることと、比が一定であることは別の判定です。

無限等比級数の収束条件を忘れる

公式

$$S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$$

が使えるのは、$|r| < 1$ のときだけです。

「項が 0 に行く」だけで十分だと思う

級数では、それは最初の確認にすぎません。調和級数はその代表的な反例です。

HP を「分数が並んでいるもの」と考える

調和数列は、単に分数が並んだ数列ではありません。逆数が等差数列になっていなければなりません。

等差数列・等比数列・調和数列・収束はどこで使うか

等差数列は、毎月同じ額を貯金するような一定の加法的変化を表します。等比数列は、複利的な増加や繰り返しの減衰のような乗法的変化を表します。調和数列は学校代数で現れ、逆数の関係が自然なパターンになる問題で使われます。

収束は、過程が無限に続く場合や非常に長い場合に重要です。無限級数、近似法、金融、さらにべき級数や微積分のような後の単元にも現れます。

類題に挑戦してみよう

次の等比数列を考えます。

$$8,\ 4,\ 2,\ 1,\dots$$

まず公比を求め、次に無限級数 $8 + 4 + 2 + 1 + \dots$ が収束するかを判断してみましょう。そのあとで、等差数列 $8, 4, 0, -4, \dots$ と比べると、「差か比か」の判定で2つのパターンがどれだけはっきり区別できるかが分かります。

次の一歩としては、初項や公比を変えた自分の例を作り、無限和を計算する前に収束条件を確認してみてください。