Formule de Pythagore

La formule de Pythagore sert à calculer un côté manquant dans un triangle rectangle. Si $a$ et $b$ sont les côtés de l'angle droit et si $c$ est l'hypoténuse, alors

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Cette relation ne fonctionne que si le triangle est rectangle. Il faut aussi que $c$ soit bien le côté opposé à l'angle droit.

La formule et sa condition

La formule dit que le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres. En pratique, elle permet de trouver une longueur manquante quand deux côtés sont déjà connus.

Le point à vérifier avant tout calcul est simple : y a-t-il un angle droit ? Si non, cette relation ne s'applique pas sous cette forme.

Pourquoi l'hypoténuse compte

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est toujours le côté le plus long. C'est donc ce côté qui doit être noté $c$.

Beaucoup d'erreurs viennent d'un bon calcul posé sur de mauvaises lettres. Si vous notez un petit côté à la place de $c$, l'algèbre peut sembler correcte alors que le modèle de départ est faux.

Exemple résolu

Prenons un triangle rectangle avec $a = 6$ et $b = 8$. On cherche l'hypoténuse $c$.

On part de

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Puis on remplace :

$$6^2 + 8^2 = c^2$$ $$36 + 64 = c^2$$ $$100 = c^2$$

On prend ensuite la racine carrée positive, car une longueur est positive :

$$c = 10$$

Le résultat est cohérent : $10$ est plus grand que $6$ et $8$, donc il peut bien s'agir de l'hypoténuse.

Erreurs fréquentes

La première erreur consiste à utiliser la formule dans un triangle qui n'est pas rectangle. Sans angle droit, cette relation n'est plus la bonne.

La deuxième erreur consiste à oublier que $c$ désigne l'hypoténuse. Écrire la bonne formule avec les mauvais côtés donne un mauvais résultat.

La troisième erreur consiste à s'arrêter à $c^2 = 100$ sans prendre la racine carrée. Si l'on cherche la longueur $c$, la réponse est $10$, pas $100$.

Une autre erreur fréquente est de ne pas vérifier si la réponse a du sens. L'hypoténuse doit rester le plus long côté.

Quand on utilise la formule de Pythagore

On l'utilise dès qu'un problème contient un angle droit et une longueur manquante. C'est fréquent pour les diagonales de rectangle, pour certains problèmes de distance et dans un repère orthogonal.

Par exemple, si un déplacement se fait de $3$ unités horizontalement puis de $4$ unités verticalement, la distance directe vaut

$$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$

Cette idée sert aussi de base à la formule de distance dans le plan, quand les axes sont perpendiculaires.

À retenir

Avant de calculer, posez-vous deux questions : y a-t-il un angle droit, et ai-je bien repéré l'hypoténuse ? Si oui, la formule de Pythagore est souvent le bon outil.

Essayez un cas proche

Essayez maintenant avec les côtés $5$ et $12$. Si vous trouvez $13$, vous n'avez pas seulement retenu la formule : vous avez compris comment l'utiliser correctement.