Πυθαγόρειο Θεόρημα

Ο τύπος του Πυθαγόρα χρησιμοποιείται για να υπολογίσουμε μια πλευρά που λείπει σε ένα ορθόγωνιο τρίγωνο. Αν οι $a$ και $b$ είναι οι πλευρές που σχηματίζουν τη δεξία γωνία και η $c$ είναι η υποτείνουσα, τότε:

$a^2 + b^2 = c^2$

Αυτή η σχέση ισχύει μόνο αν το τρίγωνο είναι ορθόγωνιο. Επίσης, πρέπει η $c$ να είναι πράγματι η πλευρά απέναντι από τη δεξία γωνία.

Ο τύπος και η προϋπόθεσή του

Ο τύπος μας λέει ότι το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο. Στην πράξη, μας επιτρέπει να βρούμε ένα άγνωστο μήκος όταν γνωρίζουμε ήδη δύο πλευρές.

Το σημείο που πρέπει να ελέγξετε πριν από κάθε υπολογισμό είναι απλό: υπάρχει δεξία γωνία; Αν όχι, αυτή η σχέση δεν εφαρμόζεται με αυτόν τον τρόπο.

Γιατί η υποτείνουσα είναι σημαντική

Σε ένα ορθόγωνιο τρίγωνο, η υποτείνουσα είναι πάντα η μεγαλύτερη πλευρά. Επομένως, αυτή η πλευρά πρέπει να σημειωθεί ως $c$.

Πολλά λάθη προκύπτουν από σωστούς υπολογισμούς που βασίζονται σε λάθος αντιστοιχίες πλευρών. Αν σημειώσετε μια μικρή πλευρά στη θέση της $c$, η άλγεβρα μπορεί να φαίνεται σωστή, αλλά το αρχικό σας μοντέλο είναι λανθασμένο.

Λυμένο παράδειγμα

Ας πάρουμε ένα ορθόγωνιο τρίγωνο με πλευρές $a = 6$ και $b = 8$. Ψάχνουμε την υποτείνουσα $c$.

Ξεκινάμε από το:

$a^2 + b^2 = c^2$

Στη συνέχεια αντικαθιστούμε:

$6^2 + 8^2 = c^2$

$36 + 64 = c^2$

$100 = c^2$

Μετά παίρνουμε τη θετική τετραγωνική ρίζα, καθώς ένα μήκος είναι πάντα θετικό:

$c = 10$

Το αποτέλεσμα είναι λογικό: η $10$ είναι μεγαλύτερη από τις $6$ και $8$, οπότε μπορεί πράγματι να είναι η υποτείνουσα.

Συχνά λάθη

Το πρώτο λάθος είναι η χρήση του τύπου σε τρίγωνο που δεν είναι ορθόγωνιο. Χωρίς δεξία γωνία, αυτή η σχέση δεν ισχύει.

Το δεύτερο λάθος είναι να ξεχάσουμε ότι η $c$ συμβολίζει την υποτείνουσα. Το να γράψετε τον σωστό τύπο με τις λάθος πλευρές οδηγεί σε λανθασμένο αποτέλεσμα.

Το τρίτο λάθος είναι να σταματήσετε στο $c^2 = 100$ χωρίς να πάρετε την τετραγωνική ρίζα. Αν ψάχνουμε το μήκος $c$, η απάντηση είναι $10$, όχι $100$.

Ένα άλλο συχνό λάθος είναι να μην ελέγχετε αν η απάντηση έχει νόημα. Η υποτείνουσα πρέπει να παραμένει η μεγαλύτερη πλευρά.

Πότε χρησιμοποιούμε τον τύπο του Πυθαγόρα

Τον χρησιμοποιούμε κάθε φορά που ένα πρόβλημα περιλαμβάνει μια δεξία γωνία και ένα άγνωστο μήκος. Είναι συνηθισμένο για τις διαγώνιες ορθογωνίων, για ορισμένα προβλήματα απόστασης και σε ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων.

Για παράδειγμα, αν μια μετακίνηση γίνεται $3$ μονάδες οριζόντια και μετά $4$ μονάδες κάθετα, η απευθείας απόσταση είναι:

$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

Αυτή η ιδέα χρησιμεύει επίσης ως βάση για τον τύπο της απόστασης στο επίπεδο, όταν οι άξονες είναι κάθετοι.

Τι πρέπει να θυμάστε

Πριν υπολογίσετε, κάντε собі δύο ερωτήσεις: υπάρχει δεξία γωνία και έχω εντοπίσει σωστά την υποτείνουσα; Αν ναι, ο τύπος του Πυθαγόρα είναι συχνά το κατάλληλο εργαλείο.

Δοκιμάστε μια παρόμοια περίπτωση

Δοκιμάστε τώρα με τις πλευρές $5$ και $12$. Αν βρείτε $13$, δεν έχετε απλώς αποmemorίσει τον τύπο, αλλά έχετε καταλάβει πώς να τον χρησιμοποιήσετε σωστά.