Théorème de Pythagore — Formule, preuve simple et exemple

Le théorème de Pythagore permet de relier les trois côtés d'un triangle rectangle. Si $a$ et $b$ sont les côtés de l'angle droit et $c$ l'hypoténuse, alors $a^2 + b^2 = c^2$. Cette relation ne vaut que si le triangle est rectangle.

La formule du théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. C'est toujours le plus long côté, donc c'est ce côté que l'on note $c$.

Le théorème s'écrit :

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Autrement dit, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

L'idée géométrique derrière la formule

Le mot "carré" dans la formule n'est pas un détail de calcul. Il renvoie à des aires.

Si l'on construit un carré sur chaque côté d'un triangle rectangle, alors l'aire du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des deux autres carrés. Cette image aide à comprendre pourquoi on additionne $a^2$ et $b^2$.

Preuve simple du théorème de Pythagore

Une preuve classique consiste à comparer l'aire d'un même grand carré de deux façons.

On prend quatre triangles rectangles identiques de côtés $a$ et $b$, d'hypoténuse $c$, puis on les place dans un grand carré de côté $a+b$. Au centre, il reste un carré de côté $c$.

L'aire du grand carré vaut d'abord :

$$(a+b)^2$$

La même aire vaut aussi l'aire des quatre triangles plus celle du carré central :

$$4 \cdot \frac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2$$

Comme ces deux expressions représentent la même aire, on obtient :

$$(a+b)^2 = 2ab + c^2$$

En développant puis en simplifiant :

$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$ $$a^2 + b^2 = c^2$$

Exemple corrigé : trouver l'hypoténuse

Prenons un triangle rectangle dont les deux côtés de l'angle droit mesurent $3$ cm et $4$ cm. On cherche l'hypoténuse $c$.

On écrit :

$$3^2 + 4^2 = c^2$$ $$9 + 16 = c^2$$ $$25 = c^2$$

Comme une longueur est positive :

$$c = 5$$

L'hypoténuse mesure donc $5$ cm. Cet exemple montre aussi un triplet de Pythagore très connu : $3$, $4$, $5$.

Trouver un autre côté

Le théorème sert aussi à calculer un côté de l'angle droit si l'on connaît l'hypoténuse et l'autre côté.

Par exemple, si $c = 13$ et $a = 5$, alors :

$$5^2 + b^2 = 13^2$$ $$25 + b^2 = 169$$ $$b^2 = 144$$ $$b = 12$$

Ici encore, la condition "triangle rectangle" est indispensable.

Erreurs fréquentes à éviter

Utiliser la formule dans un triangle non rectangle

Le théorème de Pythagore ne fonctionne pas dans n'importe quel triangle. Sans angle droit, il faut un autre outil.

Mal repérer l'hypoténuse

Si $c$ n'est pas le côté opposé à l'angle droit, l'équation est mal posée dès le départ.

Oublier la racine carrée

Trouver $c^2 = 49$ ne donne pas directement la longueur. Il faut encore conclure que $c = 7$.

Soustraire du mauvais côté

Si l'on cherche un petit côté, on part de $a^2 + b^2 = c^2$ puis on isole l'inconnue. Par exemple, pour trouver $b$, on écrit :

$$b^2 = c^2 - a^2$$

Quand utilise-t-on le théorème de Pythagore ?

On l'utilise dès qu'un problème fait intervenir un angle droit et une longueur manquante.

Il sert souvent à calculer une diagonale de rectangle, une distance entre deux points dans un repère orthogonal ou à vérifier si trois longueurs peuvent former un triangle rectangle.

Exercice rapide

Un triangle rectangle a pour hypoténuse $10$ cm et pour un autre côté $6$ cm. Quelle est la longueur du troisième côté ?

Essayez une version proche par vous-même : posez l'équation, isolez le carré de la longueur inconnue, puis prenez la racine carrée.