Formules de trigonométrie

Les formules de trigonométrie permettent de calculer des longueurs, des angles et des valeurs exactes comme $\sin(75^\circ)$. Pour être utile tout de suite, il suffit de maîtriser trois idées: les rapports dans le triangle rectangle, l'identité $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$, et les formules d'addition.

On ne mémorise donc pas ces formules pour réciter un tableau. On les utilise pour résoudre un triangle rectangle, simplifier une expression, ou décomposer un angle moins familier en angles connus.

Les rapports de base dans un triangle rectangle

Ces trois formules s'utilisent dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\theta$:

$$\sin(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$$ $$\cos(\theta) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$$ $$\tan(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$$

Si $\cos(\theta) \ne 0$, on peut aussi écrire:

$$\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$$

Condition importante: les rapports de côtés demandent un triangle rectangle. En dehors de ce cadre, on travaille plutôt avec le cercle trigonométrique et les identités.

L'identité fondamentale qui sert le plus

La formule la plus utile à mémoriser est

$$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$

Elle permet de remplacer un $\sin^2(x)$ par $1 - \cos^2(x)$, ou l'inverse. C'est souvent la première étape quand il faut simplifier une expression trigonométrique.

Une conséquence fréquente, valable si $\cos(x) \ne 0$, est:

$$1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$$

Inutile de tout apprendre d'un coup. Si cette identité est solide, beaucoup d'autres manipulations deviennent plus simples.

Les formules d'addition pour les angles composés

Quand un angle s'écrit comme une somme ou une différence, ces formules deviennent utiles:

$$\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$$ $$\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$$

En pratique, elles servent surtout à calculer une valeur exacte pour un angle comme $15^\circ$, $75^\circ$ ou $105^\circ$, à condition de le décomposer en angles connus.

Exemple guidé: calculer $\sin(75^\circ)$

L'angle $75^\circ$ n'est pas un angle remarquable de base, mais il se décompose bien:

$$75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$$

On applique alors la formule d'addition du sinus:

$$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ)$$ $$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)$$

On remplace par les valeurs exactes connues:

$$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$$

Donc

$$\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$$ $$\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$$ $$\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

Ce calcul montre l'idée centrale: une formule de trigonométrie sert surtout à transformer un problème peu familier en calcul faisable.

Erreurs fréquentes

Utiliser les rapports de côtés hors contexte

$\sin(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ demande un triangle rectangle. Si l'énoncé ne parle pas de triangle rectangle, il faut souvent passer par le cercle trigonométrique ou par une autre identité.

Oublier le signe dans la formule du cosinus

Dans

$$\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$$

le signe au milieu est un $-$, pas un $+$. C'est une erreur très courante.

Mélanger degrés et radians

Les formules restent les mêmes, mais l'unité doit rester cohérente. Si un exercice travaille en radians, ne remplace pas soudainement par des degrés sans conversion.

Quand les formules de trigonométrie sont utiles

On les rencontre en géométrie, en analyse, en physique et dans les exercices de simplification algébrique. Au lycée, elles servent surtout à résoudre des triangles rectangles, à calculer des valeurs exactes et à transformer des expressions.

Plus tard, elles deviennent utiles pour étudier des fonctions périodiques, des oscillations et certains phénomènes d'onde.

Essaie un cas voisin

Essaie maintenant de calculer $\cos(15^\circ)$ en écrivant $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$. Tu retrouveras la même logique, avec une formule de différence au lieu d'une formule de somme.