Formule Dérivée

La formule de la dérivée donne le taux de variation instantané d'une fonction. Pour une fonction $f$, elle s'écrit

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

si cette limite existe. En pratique, elle mesure la pente de la tangente au graphe en un point. Si la limite n'existe pas, la dérivée n'existe pas non plus à cet endroit.

Ce Que Dit La Formule

Le quotient

$$\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

compare la variation de la fonction à la variation de l'entrée. Tant que $h$ n'est pas nul, on obtient une pente moyenne entre deux points du graphe.

La dérivée apparaît quand on fait tendre $h$ vers $0$. On ne regarde alors plus une variation sur un intervalle, mais le comportement au voisinage immédiat du point. C'est pour cela qu'on parle de variation instantanée.

Intuition Simple

Imaginez une voiture dont la distance parcourue dépend du temps. Entre $2$ secondes et $3$ secondes, on peut calculer une vitesse moyenne. Mais si on veut la vitesse exacte à $2$ secondes, on doit regarder des intervalles de plus en plus petits autour de cet instant.

La formule de la dérivée fait exactement cela pour n'importe quelle fonction: elle remplace une pente moyenne par une pente locale.

Un Exemple Bien Choisi

Prenons $f(x) = x^2$. Calculons sa dérivée à partir de la formule.

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$$

Développons le numérateur:

$$(x+h)^2 - x^2 = x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2$$

On obtient alors

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}$$

Pour $h \ne 0$, on simplifie par $h$:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h)$$

Puis on fait tendre $h$ vers $0$:

$$f'(x) = 2x$$

Donc la dérivée de $x^2$ est $2x$. Par exemple, au point $x=3$, la pente vaut $f'(3)=6$.

Formules Courantes A Connaitre

La définition par limite explique le sens de la dérivée. Pour calculer plus vite, on utilise ensuite des formules déjà démontrées, par exemple:

$$\frac{d}{dx}(c) = 0$$ $$\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$$ $$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$$ $$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$

Ces formules s'appliquent sous leurs conditions habituelles de définition.

Erreurs Fréquentes

1. Confondre pente moyenne et dérivée. Le quotient avec un $h$ fixé n'est pas encore la dérivée.
2. Remplacer trop tôt $h$ par $0$. Dans la formule, on prend une limite; on ne divise jamais directement par $0$.
3. Croire qu'une fonction est toujours dérivable parce qu'elle est continue. Ce n'est pas vrai en général.
4. Utiliser une formule de dérivation sans vérifier le domaine de la fonction.

Quand On Utilise La Dérivée

La dérivée est utile dès qu'on veut décrire une variation locale:

1. en physique pour la vitesse instantanée ou le taux de changement
2. en économie pour étudier un coût marginal ou une croissance locale
3. en optimisation pour repérer des maxima, minima, ou des points critiques
4. en étude de courbes pour savoir si une fonction monte, descend, ou change rapidement

Un Test Mental Rapide

Si vous hésitez sur le sens de la formule, posez-vous cette question: "est-ce que je cherche une variation sur un intervalle, ou la variation au point ?" Si c'est au point, l'idée de dérivée est la bonne.

Essayez Votre Propre Version

Essayez de partir de la formule pour calculer la dérivée de $f(x)=x^3$. Si le calcul est juste, vous devriez trouver $f'(x)=3x^2$. C'est un bon exercice pour voir comment la définition mène aux règles de dérivation usuelles.