ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้สำหรับคำนวณหาความยาวด้านที่หายไปในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หากให้ $a$ และ $b$ เป็นด้านประกอบมุมฉาก และ $c$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) จะได้ว่า

$a^2 + b^2 = c^2$

ความสัมพันธ์นี้จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น และต้องมั่นใจว่า $c$ คือด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากจริงๆ

สูตรและเงื่อนไขการใช้งาน

สูตรนี้กล่าวว่า กำลังสองของด้านที่ยาวที่สุด จะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านอีกสองด้านที่เหลือ ในทางปฏิบัติ เราใช้สูตรนี้เพื่อหาความยาวด้านที่หายไปเมื่อเราทราบความยาวของด้านสองด้านแล้ว

จุดที่ต้องตรวจสอบก่อนเริ่มคำนวณนั้นง่ายมาก คือ: มีมุมฉากหรือไม่? ถ้าไม่มี ความสัมพันธ์นี้จะไม่สามารถนำมาใช้ในรูปแบบนี้ได้

ทำไมด้านตรงข้ามมุมฉากถึงสำคัญ

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) จะเป็นด้านที่ยาวที่สุดเสมอ ดังนั้นด้านนี้จึงต้องถูกกำหนดให้เป็น $c$

ข้อผิดพลาดส่วนใหญ่เกิดจากการคำนวณที่ถูกต้องแต่ใช้ตัวแปรผิดตัว หากคุณนำด้านสั้นๆ ไปแทนค่าใน $c$ แม้ว่าการแก้สมการทางพีชคณิตจะดูถูกต้อง แต่โมเดลเริ่มต้นนั้นผิดตั้งแต่แรก

ตัวอย่างการคำนวณ

สมมติว่าเรามีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านยาว $a = 6$ และ $b = 8$ และเราต้องการหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก $c$

เริ่มจากสูตร:

$a^2 + b^2 = c^2$

จากนั้นแทนค่า:

$6^2 + 8^2 = c^2$

$36 + 64 = c^2$

$100 = c^2$

จากนั้นให้ถอดรากที่สอง (ค่าบวก) เนื่องจากความยาวต้องเป็นค่าบวกเสมอ:

$c = 10$

ผลลัพธ์ที่ได้มีความสมเหตุสมผล เพราะ $10$ มีค่ามากกว่า $6$ และ $8$ จึงเป็นไปได้ที่จะเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ข้อผิดพลาดแรกคือการใช้สูตรนี้กับรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมฉาก หากไม่มีมุมฉาก ความสัมพันธ์นี้จะใช้ไม่ได้

ข้อผิดพลาดที่สองคือการลืมว่า $c$ หมายถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก การเขียนสูตรที่ถูกต้องแต่แทนค่าด้านผิด จะทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ผิดพลาด

ข้อผิดพลาดที่สามคือการหยุดอยู่ที่ $c^2 = 100$ โดยที่ไม่ได้ถอดรากที่สอง หากคุณต้องการหาความยาว $c$ คำตอบคือ $10$ ไม่ใช่ $100$

อีกหนึ่งข้อผิดพลาดที่พบบ่อยคือการไม่ตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลหรือไม่ ซึ่งด้านตรงข้ามมุมฉากจะต้องเป็นด้านที่ยาวที่สุดเสมอ

เมื่อไหร่ที่ควรใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

เราจะใช้สูตรนี้เมื่อใดก็ตามที่โจทย์มีมุมฉากและมีการหาความยาวด้านที่หายไป ซึ่งพบบ่อยในการหาเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า, โจทย์ปัญหาเรื่องระยะทาง และในระบบพิกัดฉาก (orthogonal coordinate system)

ตัวอย่างเช่น หากมีการเคลื่อนที่ในแนวราบ $3$ หน่วย และแนวตั้ง $4$ หน่วย ระยะทางตรง (เส้นทแยงมุม) จะมีค่าเท่ากับ

$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

แนวคิดนี้ยังเป็นพื้นฐานของสูตรการหาระยะทางระหว่างจุดสองจุดบนระนาบ เมื่อแกนทั้งสองตั้งฉากกัน

สรุปสิ่งที่ควรจำ

ก่อนเริ่มคำนวณ ให้ถามตัวเองสองคำถาม: มีมุมฉากหรือไม่? และฉันระบุด้านตรงข้ามมุมฉากถูกต้องแล้วหรือยัง? ถ้าคำตอบคือใช่ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสคือเครื่องมือที่เหมาะสมที่สุด

ลองฝึกทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองคำนวณโดยใช้ด้านยาว $5$ และ $12$ ดูครับ หากคุณคำนวณได้ $13$ แสดงว่าคุณไม่เพียงแต่จำสูตรได้ แต่คุณเข้าใจวิธีการนำไปใช้อย่างถูกต้องด้วย